Résultats liés à l'ensemble triadique de Cantor
Je sais déjà qu'il est formé d'intervalles fermés deux à deux disjoints, c'est un borélien de mesure de Lebesgue nulle et est non dénombrable
Y-a-t-il d'autres résultats liés à cet ensemble?
Merci d'avance
Y-a-t-il d'autres résultats liés à cet ensemble?
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Réponses
Il est auto-similaire.
Sa dimension fractale n'est pas entière.
il me semble qu'il est en bijection avec $[0,1]$. (remarque peut-être le sais-tu déjà puisque tu écris qu'il est non-dénombrable.
Pour, $a=\sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{a_k}{3^k}$ où $a_k \in \{0,2\}$ on associe $\sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{\a_k/2}{2^k}$
Il est aussi d'intérieur vide.
(1/3 et 2/3 s'envoient tous deux sur 1/2 non?)
pour JC,
l'application que tu cites n'est pas une bijection..
(si elle l'etait d'ailleurs , comme elle est continue on aurait moultes contradictions!!)
(bien qu'indiqué par erreur dans exo dans Dieudonné cours d'analyse)
l'ensemble de cantor est fermé d'interieur vide , ayant la puissance du continu et completement discontinu ( ses composantes connexes sont les singletons) et enfin de mesure nulle.
Oump.
Suite à ce fil et à celui traitant de l'existence d'une fonction strictement croissante dont la dérivée s'annule sur un nombre non dénombrable de point , j'ai une petite question :
Dans le cours en ligne sur ce site ,il est indiqué qu'avec l'ensemble de Cantor on peut construire une fonction f continue croissante dans [0 ,1] ,dérivable presque partout et de dérivée nulle presque partout avec par ailleurs f(0)=0 et f(1)=1 .
Merci à ceux qui voudront bien indiquer comment procéder pour expliciter une telle fonction.
http://www.mathcurve.com/fractals/escalierdudiable/escalierdudiable.shtml
Un nombre dans l'ensemble ce Cantor s'écrit en base 3 avec seulement des 0 et des 2.
$[0,1]$ s'écrit en base 2 avec seulement des 0 et des 1.
La bijection consiste à construire un nombre où les 2 sont remplacés par des 1et ce nombre est exprimé en base 2 au lieu de 3.
Les 2 ensembles on le même cardinal $\{0,1\}^\N = \{0,2\}^\N = 2^{\aleph_0} = \aleph_c$.
Aprés, il y a des histoires à cause des retenues mais cela ne pose normalement pas de problèmes.
Dans l'ensemble des nombres de Cantor en base 3, on a alors tous les nombres formés de 0 et de 2, ne finissant pas par $22222\ldots$, ou bien les nombres dont 1 apparaît une seule fois à la fin (la fin étant $100000\ldots$).
Dans $[0,1]$, aucun nombre ne finit par $11111\ldots$.
Il y a donc bien bijection normalement.
Je vais y réfléchir...
non, ce n'est pas une bijection, mais pour lever une ambiguïté, je précise que les décompositions ici ne sont pas des décompositions tri-adiques propres (on admet les cas où la suite $a_k$ soit constante, de termes égaux à 2 à partir d'un certain rang), cependant pour deux nombres de l'ensemble $ F$ de Cantor
qui admettent deux telles décompositions, leur image par $f$ est identique.
Autrement, un résultat analoque est celui que $g$ définie sur $[0,1]$ par
$x= \sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{a_k}{2^k} \longrightarrow \sum_{k=0}^{+ \infty}\frac{2a_k}{3^k}$ où $a_k \in \{0,1\}$ est la décomposition di-adique propre de $x$,
est injective de $[0,1]$ dans $F$.
je dirais que finalement on se fiche d'avoir une bijection l'essentiel etant d'avoir une surjection qui a l'avantage en plus d'etre continue,
caractere que l'on perdra , necessairement, si on se contorsionne pour avoir une bijection..
pour Jc j'ajoute que dans sa def on choisit precisement lorsqu'il ya deux écritures d'un triadique, l'ecriture impropre, donc pas d'ambiguité au depart
mais bien sur , pas de caractere injectif, comme deja indiqué.
Oump.
oui tu as tout à fait raison omp, j'ai ajouté cela après la lecture des messages de gilllou et probaloser qui semblait faire apparaître une ambiguïté sur mon application pour laquelle j'aurais dû mieux réfléchir avant de d'écrire.
D'autre part dans certains ouvrages, la choix de suites impropres n'est pas indiqué, la fonction prenant la même valeur que la suite soit propre ou non, pour un même élément de $F$.
Ca se fait assez facilement, en utilisant un "crible"
Il possède de nombreuses propriétés :
1) Possède la puissance du continu (en bijection avec R).
2) Il est de mesure de Lebesgue nulle.
3) C'est un compact totalement discontinu (ses composantes connexes sont réduites à des singletons) pour la topologie usuelle.
Et plusieurs d'autres propriétés surprenantes.
oui pour le reste de ton post, mais non pour la partie italique grasse ci-dessus
Y'a un moyen de montrer que c'est l'unique application monotone qui fait ça? et qu'elle est surjective?