théorème de Donsker

Sacha2

Bonjour

J\'aimerai trouver un énoncer correct du théorème de Donsker. Mon problème est le suivant

on pose $\\alpha_{n}=\\sqrt{n}(F_{n}-F)$, où $F$ est la fonction de répartition d\'une variable aléatoire réelle et $F_{n}$ la fonction de répartition empirique d\'une famille i.i.d de va réelle suivant la loi de $X$. $\\alpha_{n}$ est donc un processus indexé par une variable continue $t$. Le théorème de Donsker dit en gros que $\\alpha_{n}$ converge en loi vers $BoF$ ($B$ pont brownien). Le problème est que $\\alpha_{n}$ n\'est pas une variable aléatoire, au sens que ce n\'est pas une fonction mesurable de ($\\Omega$, $\\mathcal{F}$, $P$) vers l\'ensemble des fonctions réelles bornées cadlag munie de la tribu borelienne (de la topologie de la norme sup).


Dans ce cas, comment peut-on parler de convergence en loi?

Merci beaucoup, bonne journée!

Sacha2

Bonjour

J'aimerai trouver un énoncer correct du théorème de Donsker. Mon problème est le suivant

on pose $\alpha_{n}=\sqrt{n}(F_{n}-F)$, où $F$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle et $F_{n}$ la fonction de répartition empirique d'une famille i.i.d de va réelle suivant la loi de $X$. $\alpha_{n}$ est donc un processus indexé par une variable continue $t$. Le théorème de Donsker dit en gros que $\alpha_{n}$ converge en loi vers $BoF$ ($B$ pont brownien). Le problème est que $\alpha_{n}$ n'est pas une variable aléatoire, au sens que ce n'est pas une fonction mesurable de ($\Omega$, $\mathcal{F}$, $P$) vers l'ensemble des fonctions réelles bornées cadlag munie de la tribu borelienne (de la topologie de la norme sup).


Dans ce cas, comment peut-on parler de convergence en loi?

Merci beaucoup, bonne journée!

(petits pb de latex dsl!)

xmn

Oui car tu n'as pas la bonne topologie. La topologie adaptée est celle de Skorohod, et la tribu est celle engendrée par cette dernière.