"Il est facile de 2"

pourexemple

Bonjour,

Je me permets de mettre un énoncé ici (je n'en connais pas de réponse) que je trouve intéressant :
$P$ un polynôme entier, tel que pour tout $n\in\N$ $P(n)$ n'est pas premier, a-t-on alors il existe deux polynômes entier tel que $P(n)=P_1(n)\times P_2(n)$ ?

christophe c

Très bonne question, mais je crois qu'elle a déjà été posée dans ce fil il y a longtemps**, mais c'est pas grave.

[large]La question no 654 est celle posée ci-dessus par contreexemple[/large]

** et j'ai vaguement l'impression qu'elle avait reçu une réponse, sans aucune certitude.

pourexemple

Bonsoir,

Un autre (pareille je n'en ai pas de solution) :
$P$ polynôme réel à plusieurs variables tels que pour tout $c\in\R$, $\{x\in\R^n|P(x)=c\}$ est vide ou connexe, a-t-on alors $P$ est à une variable ?

Bonne soirée.

marco

Bonjour,

Si on choisit $P(x,y)=x^2+y^2$, alors $\{(x,y)\in \R^2 |P(x,y)=c\}$ est soit vide, soit un point, soit un cercle (donc connexe). Et pourtant , $P$ n'a pas qu'une variable.

Foys

@contre-exemple: pense à des formes linéaires (ce sont des fonctions polynômiales).

pourexemple

Bonjour,

Merci, à tous les deux.

Bonne journée.

pourexemple

Bonjour,

Une autre :
$f$ continue de $\R^n$ dans $f(\R^n)=\R$, $n>1$, pour tout $c \in \R$ $\{x\in \R^n|f(x)=c\}$ n'est jamais un singleton ?
La réponse est vraie.

Foys

contrexemple écrivait:

---

> Bonjour,
>
> Une autre :
> $f$ continue de $\R^n$ dans $f(\R^n)=\R$, $n>1$,
> pour tout $c \in \R$ $\{x\in \R^n|f(x)=c\}$ n'est
> jamais un singleton ?

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,1215821#msg-1215821

pourexemple

Les formes linéaires sur $\R^n$ donnent des hyperplans, qui sont aux moins aussi gros qu'une droite (n>1).

christophe c

[large]Petit exercice inoffensif mais plaisant numéro 655[/large]

Pea

Pour la 654: contreexemple que penses-tu de $P(n)=n^2+n+4$?

christophe c

Question 656: je n'arrive même pas à me rappeler si j'ai un jour connu la réponse à cette question "banale". On se place dans l'anneau $A:=\Z[X_0,X_1,..]$ (les indéterminées sont indicées par les entiers naturels). Soit $T$ l'ensemble des couples $(F,Q)$ tels que $F$ est une partie finie de $A$ et $Q\in A$ et $Q$ appartient à l'idéal engendré par $F$.

[large]

Question 656: $T$ est-il récursif?

[/large]

A vue de nez, je sais montrer qu'il est PSPACE-complet.... Mais, j'avoue ne pas voir s'il est ou non décidable (en langage populaire décidable est synonyme de résursif)

matvrossii

christophe c a écrit:

je sais montrer qu'il est PSPACE-complet

Vous vouliez dire "PSPACE-difficile"? Parce que PSPACE-complet implique PSPACE, lequel implique récursif.

christophe c

Oui bien sur merci et pardon pour l'erreur de frappe!

marco

Bonjour,

Pour calculer les polynômes appartenant à un idéal $(f_1,\dots, f_n)$, il y a les bases de Gröbner et l'algorithme de Buchberger.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_de_Gr%C3%B6bner

https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_de_Buchberger

Je ne sais pas si il convient pour $\Z[X_0, X_1,\dots]$.

christophe c

Merci beaucoup Marco, je vais regarder les détails. Par contre, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique nulle est récursive, donc si on se restreint à eux, on a la réponse. Je ne sais pas si Grobner est un outil général qui dépasse ce cadre.

marco

Oui, Gröbner convient pour $\Q[X_0,X_1,\dots]$, mais peut-être pas pour $\Z[X_0,X_1,\dots]$.

christophe c

[large]Question 657[/large] (toujours dans un peu le même esprit):

soit $(E,\perp , *)$ un ensemble (infini) muni de deux opérations commutatives et associatives. Soit $n$ un entier $>0$. Soient $m$ une application de $(n+1)\times n$ dans $E$.

A chaque $x\in E^{n+1}$, on associe $y:=\phi(x)\in E^n$ défini, pour chaque $j\in n$ par $y(j):=(x(0) * m(0,j)) \perp ...\perp (x(n) * m(n,j))$.

Vous aurez bien sûr reconnu une sorte de multiplication matricielle sans la structure d'anneau, en particulier sans la distributivité.

Question: a-t-on forcément que $\phi$ n'est pas injective?

christophe c

La réponse est non, $\phi$ peut être dans certain cas injective. J'ai donc bien l'impression que l'hypothèse (non présente dans la question657) que $\forall .. : a*(b\perp c)=(a*b)\perp (a*c) $ est "essentielle". Bon cela dit, ça n'enlève pas non plus trop de généralité, il y a même des foules de tel couples où $\perp = *$ en plus, etc. C'est quand on demande à $\perp$ de livrer une structure de groupe qu'on devient rikiki (on tombe alors tout simplement dans les anneaux pour qui la réponse oui est connue).

La question 658 est la suivante: même question que la 657 avec l'hypothèse de distributivité en plus.

christophe c

[size=x-large]

Question 659

[/size]

christophe c

Question 660: soit $C$ une collection (qui ne contient que des anneaux commutatifs unitaires) qui contient tous les corps, stable par morphismes surjectifs, produits finis, et passage à l'anneau des polynômes sur une indéterminée.

Est-ce que $C$ contient tous les anneaux noethériens?

Foys

660: Non.
Tout est supposé commutatif dans ce qui suit
On dit qu'un anneau $A$ la propriété $X$ s'il existe une suite finie $A_0,...,A_n$ avec
1) $A_n=A$
2) pour tout $k$ l'une des propriétés suivantes est vraie
a) il existe $\ell< k$ et $\varphi: A_{\ell} \to A_k$ morphisme surjectif d'anneaux.
b) il existe $\ell '< k$ tel que $A_{\ell '} [X]$ et $A_k$ sont isomorphes.
c) $A_k$ est un corps
d) il existe $p,q <k$ tels que $A_p \times A_q$ et $A_k$ sont isomorphes.

remarque 1: dans une suite comme précédemment, $A_0$ est forcément un corps (parmi les propriétés 2)a) .., 2)d) seule 2)c) peut être vérifiée)

remarque 2: la collection des anneaux vérifiant la propriété $X$ vérifie toutes les hypothèses de 660 (évident)

remarque 3: Si $A$ vérifie $X$ avec une suite $A_0,....,A_n$ alors il existe un morphisme d'un corps(*) $K$ vers $A$ (la preuve est évidente par récurrence sur $n$ : considérer le plus petit $n$ tel que c'est faux: dans tous les cas $A_n$ est un corps ou bien il existe $p<n$ et un morphisme de $A_p$ dans $A_n$)

On conclut en vérifiant que $\Z$ ne vérifie pas $X$ puisqu'il n'existe aucun corps $K$ avec un morphisme $f: K \to \Z$.
En effet un tel morphisme serait injectif ($\ker f$ ne contenant aucun inversible) et donc $K$ serait de caractéristique nulle et $\Z$ aurait une infinité d'inversibles.

EDIT: la remarque 3 est fausse. Elle ne marche pas sur un produit de corps comme $\mathbf F_2 \times \mathbf F_3 \simeq \Z /6 \Z$. Néanmoins la collection des anneaux ayant la propriété $X$ est la plus petite vérifiant toutes les hypothèses de 660 et c'est donc un choix privilégié pour un contre exemple. L'exo reste ouvert.

Foys

On montre que 660 est fausse avec des résultats non triviaux (les énoncés de dimension ci-dessous sont pénibles à prouver).
Si $A$ et $B$ sont noethériens de dimension de Krull finie $A \times B$ est aussi de dimension finie et $\dim(A \times \leq \max \big (\dim(A), \dim(B) \big)$. Si $A$ est de dimension finie et $I$ est un idéal, $\dim(A/I) \leq \dim(A)$ et $\dim(A[X])=1+\dim(A)$. Si $A$ est un corps $\dim(A)=0$.
Bref la classe des anneaux noethériens de dimension finie vérifie toutes les hypothèses de 660 mais il existe un anneau noethérien de dimension infinie (dû à Nagata. Tout est sur les moteurs de recherche).

christophe c

Merci beaucoup foys: j'avais effectivement oublié Z... J'aurais dû mettre "anneau principal intègre à la place de corps. Ce sera la 661 d'un PC qui sera résolue grâce à ton last post

christophe c

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Question 661: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1237837

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christophe c

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Question 662: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1238391

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christophe c

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Question 663: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1242211

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christophe c

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Question 664 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1242261

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christophe c

Je donne des numéros de référence pour les deux questions de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1224609,1242469,page=2#msg-1242469

Question 665 : soit $A$ un anneau un anneau pour qui la relation $Annul(x)\subset Annul(y)$ coincide avec $x| y$. Soit des éléments $b,a_i$ tels que $Annul(b)\supset Annul(a_1)\cap ..\cap Annul(a_k)$. A-t-on forcément $b\in Aa_1+..+Aa_k$?

Question 665bis: Soient $A,B$ tels que $B$ est un anneau unitaire pas forcément commutatif et $A$ un sous-anneau commutatif de $B$. Soit $P$ un polynome unitaire à coefficients dans $A$, de degré $n$ et $z\in B$ tel que $P(z)=0$. On suppose de plus que $(x\mapsto zx)$ est injective de $B$ dans $B$ et qu'aucun polynôme unitaire à coefs dans $A$ de degré $<n$ n'annule $z$. A-t-on forcément que le coefficient constant de $P$ est régulier?

Pour la 665bis, j'ai l'impression que la réponse est oui en faisant un effet miroir (ie chaque fois on passe dans le suranneau qui ajoute sentimentalement $z$, ce qui permet de factoriser $P$ sous la forme d'un produit de facteurs $X+a$ tel que $a$ régulier. Le coef constant de P étant le produit de ces $a$ reste alors régulier. Mais je n'ai pas vérifié les "petits détails Columboques"

christophe c

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Question 666: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1224609,1245975#msg-1245975

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christophe c

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Exercice 667 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1254561

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christophe c

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Question 668 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1224609,1255103#msg-1255103

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christophe c

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Question 669 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1224609,1256159,page=4#msg-1256159

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christophe c

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Question 670: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?15,1257779,1257779#msg-1257779

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christophe c

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Question 671: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1266395,1266395#msg-1266395

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christophe c

[large]Question 672: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1269903,1270003#msg-1270003[/large]

Cyrano

Hum je n'ai pas la réponse mais je pense à la chose suivante.

Si $A$ est compact, le convexe auquel il est homéomorphe est compact aussi. Or dans $\R^n$ un convexe compact est toujours homéomorphe à une sphère pleine (donc en particulier étoilé).

Je ne suis pas sûr que ça se généralise à tout espace normé de dimension infinie, mais c'est possible. Il faudrait reprendre la démonstration du fait dans $\R^n$ et regarder si on n'utilise que les propriétés de la norme.

Edit : Après vérification, la preuve semble pouvoir être copié-collée pour un evn quelconque. En attente de confirmation d'un autre intervenant.

Edit 2 : Ce que demandait cc était une équivalence et j'ai juste prouvé un sens, qui était totalement trivial d'ailleurs. :-D Bref il est temps d'arrêter les maths pour aujoud'hui.

christophe c

Merci Cyrano (tu)

C'est l'heure de l'apéro, une petite question sans (à priori) infini.

Question 673Soit $G$ un semigroupe. Existe-t-il forcément une involution $f$ de $G\to G$ telle que pour tous éléments $x,y$ de $G: f(xy)=f(y)f(x)$?

(J'imagine que la réponse est non en mode "vite fait")

mpif

En effet, c'est mal parti (pour Question 673),

Soit $E$ un ensemble. Considérons l'opération $*\colon E^2\to E$, projection sur la première coordonnée, c'est à dire pour tout $(x,y)\in E^2$, on a $x*y=x$. Cette opération est bien associative.

Soit $f\colon E\to E$ une involution telle que pour tout $x,y$ dans $E$, on a $f(x*y)=f(y)*f(x)$. Alors pour tout $x,y$ dans $E$, on a $f(x)=f(x*y)=f(y)*f(x)=f(y)$, mais $f$ est involution, donc $x=f(f(x))=f(f(y))=y$.

Ainsi $E$ est un singleton. Ce qui est gênant si $E=\{0,1\}$.

Pour espérer un tel résultat il doit falloir rajouter une condition forte sur le semi-groupe (la seul présence d'un élément neutre ne suffit pas). On peut cependant espérer l'existence d'une telle involution si le semi-groupe se plonge dans un groupe (mais je ne garantie rien).

christophe c

Merci mpif et grand merci pour la question retapée que tu proposes:

Question 674 (due à mpif) : soit $G$ un semi-groupe "intègre". Existe-t-il une involution $f:G\to G$ telle que pour tous éléments $x,y$ de $G: f(xy)=f(y)f(x)$?

( "intègre" signifie que pour tout $x\in G: (y\mapsto xy)$ et $(y\mapsto yx)$ sont injectives )

christophe c

Question 675: soit $f$ l'application de $2^3\to 2$ telle que pour tous $x,y,z: $ si $x=1$ alors $f(x,y,z)=y$ et si $x=0$ alors $f(x,y,z)=z$

On note $E$ l'ensemble des formules $X$ écrites avec juste des lettres, des zéros, des 1 et le symbole $f$, qui de plus sont telles qu'il n'y a qu'une seule occurrence (ou pas du tout**) de chaque lettre dans $X$.

On appelle tautologie les éléments de $E$ qui ne peuvent prendre que la valeur $1$ quelles que soient les valeurs qu'on attribue aux lettres. L'ensemble des tautologies est-il coNP-complet?

** par exemple $f(a,b,f(c,a,d))$ n'est pas dans $E$ car le lettre $a$ apparaît deux fois.

christophe c

Je m'auto-réponds pour la 675 (je laisse les détails au lecteur): c'est un ensemble polynomial (en tant que complémentaire d'un ensemble algébrique**). Complexité donc en $n^3$, où $n$ est la longueur de la suite de symboles

** on dit plus usuellement "langage algébrique", ie "généré par une grammaire algébrique".

echecaupion

674 bis
Soit $G$ un groupe et $S\subset G$.
Soit $S'$ l'image de $S$ par $x\mapsto x^{-1}$

Existe-t-il un automorphisme $g$ de $G$ qui envoie $S$ sur $S'$?

(Si $G $ vérifie 674 bis alors il vérifie 674 : on plonge le monoïde dans un groupe (car integre)et on prend pour $S $ le monoïde intègre , et $f(x)=g(x)^{-1}$)

lesmathspointclaires

je crois que 674 (et 674bis) sont faux en général

On prend $G$ un groupe libre à 4 générateurs quotienté par les relations(*) $a^3=1 , b^5=1,c^7=1$ et $d^{11}=1$ et $ab=cd$

et on considère le monoide (intègre) $S\subset G$ engendré par $a$ , $b$,$c$ et $d$

$1\in S$ donc $f(1)=1$ (développer $f(a.1)$)**
$g:\space x\mapsto f(x)^{-1}$ est un morphisme de monoïde de $S$ sur $S':=g(S)$
On a aussi $g(1)=1$ (par **)
et donc ordre $g(x)$ divise l'ordre de $x$ pour tout $x$ dans $S$
donc, en notant $x'$ l'inverse de $x$, on a
$g(a)=a'$, $g(b)=b'$, $g(c)=c'$, $g(d)=d'$
mais on a aussi $g(ab)=g(cd)$ et donc $a'b'=c'd'$ qui n'est impliqué par aucune des relations (*)

AD

Bonjour Lesmaths.clair

Lesmaths.clair a écrit:

On prend $G$ un groupe libre à deux générateurs quotienté par les relations $a^3=1,\ b^5=1,\ (ab)^7=1 ,\ (ba)^{11}=1$

Ainsi défini, ton groupe $G$ est réduit au neutre.
En effet pour tout $n$, $(ab)^n=1$ donne par conjugaison $b(ab)^nb^{-1}=bb^{-1}=1$ c'est-à-dire $(ba)^n=1$
Alors de la relation $(ab)^7=1$, tu tires $(ba)^7=1$ qui combiné avec $(ba)^{11}=1$ donne (par Bézout) $ba=1$ ou encore $b=a^{-1}$ alors les autres relations donnent (encore par Bezout) $a=b=1$ dans le quotient.
Le groupe $G$ qui est engendré par l'image de $a$ et $b$ dans le quotient est donc trivial.

Alain

PS : je n'ai pas compris la différence entre ton monoïde intègre $S$ et le groupe $G$ ?

lesmathspointclaires

AD écrivait:

---

>
> PS : je n'ai pas compris la différence entre ton
> monoïde intègre $S$ et le groupe $G$ ?


Bonjour !

J'ai corrigé une deuxieme fois entre temps la première betise (ordre de ab différent de ordre de ba) mais en fait c'est pour en ecrire une autre, car S=G, tu as raison^^ (vite un trou pour me cacher)

lesmathspointclaires

J'essaie encore une fois 674 pour dire NON

soit $S$ le monoide libre engendré par A={a,b,c,d}
et $T$ le quotient de $S$ par $ab=cbd$(*)
soit $f$ involution vérifiant $f(xy)=f(y)f(x)$ pour tous $x,y\in T$

lemme
si $x\in A$, alors $f(x)\in A$

en effet si ce n'etait pas le cas on aurait $x=f(f(x))=f(x_1...x_q)=f(x_q)...f(x_1)$et x serait egal a un produit de q>1 elements de A, ce qui est exclu car l'unique relation est (*)


(*) entraine $f(b)f(a)=f(d)f(b)f(c)$
d'après le lemme et le fait que (*) est la seule relation qui lient $a,b,c$, et $d$ , ceci impose $f(b)=a, f(a)=b ,f(d)=c, f(b)=b, f(c)=d$

donc a=b ce qui est exclu

lesmathspointclaires

671
A=Z/4Z
m=1
P_1=2X+1
P_2=X^2
R(2X+1,X^2) est non nul pour tout polynôme R à deux variables qui n'est pas nul

lesmathspointclaires

peut etre faut il rajouter anneau integre?(671)

christophe c

Exercice 676 :

cet exercice est dû à JC alias les mathspointclair qui m'en a parlé hier. Pour $x,y$ dans $F_2^n$, on note $$F_2^n\ni x*y:=(i\in n\mapsto x_iy_i)$$.

Soit $M$ une matrice à coefs dans $F_2$ ayant la constante nulle aussi bien comme ligne que comme colonne ayant une ligne et une colonne nulle. De plus, toutes ses lignes sont 2 à 2 distinctes (et idem pour ses colonnes). De plus, l'ensemble de ses lignes est stable par * (et l'ensemble de ses colonnes aussi).

Prouver que $M$ est une matrice carrée