"Il est facile de 2"

christophe c

Bravo foys

Crit

Toute forme d'intersection. Tous les points d'intersections de toute courbe, tout cercle, toute forme. Ce n'est pas "vide", c'est l'événement lui même. Si un événement est ce qui se passe dans un plan, on ne peut pas dire que un événement cela soit le vide, cela soit vide. C'est ce qui s'est passé. Donc une intersection.

christophe c

Question 572:

Un théorème routinier dit que si $n\mapsto E_n$ est une famille d'espaces compacts, alors pour toute suite $n\mapsto f_n: E_{n+1}\to E_n$ d'applications continues, il existe une suite $n\mapsto a_n\in E_n$ telle que $\forall n\in \N: a_n = f_n(a_{n+1})$.


Quand la conclusion arrive, on dira que $a$ convient à $f$.

On munit $E_n^{E_n+1}$ de la topologie discrète et $F:= \prod_n E_n^{E_n+1}$ de la topologie produit. On munit $P:=\prod_n E_n$ de la topologie produit (des topologies compactes des $E_n$).

Existe-t-il une application continue $\phi$ de $F$ dans $P$ telle que $\forall x\in F: \phi(x)$ convient à $x$?

christophe c

Question 573: même question que la 572 en remplaçant tous les $E_i$ par $\C^n$, la topologie de $E_i$ par la topologie discrète et fonction continue par fonction polynomiale

christophe c

Mauvaise nouvelle: la réponse à la question 561 est oui. Je le laisse en exercice pour les lecteurs; snif, j'aurais préféré qu'elle soit non

zephir

Rappel de la Question 561: on se place en théorie intuitionniste des ensembles $(ZFI)$. Soit $E$ un ensemble tel que $E^E=E$. Autrement dit, toute application (son graphe*) de $E$ dans $E$ est un élément de $E$ et réciproquement. On sait alors que $E$ n'est pas vide $(1\ne 0)$. Peut-on prouver que $\forall (x,y)\in E^2, x=y$ ?
La réponse est oui, mais il manque la démonstration ! dans $(ZFI)$. On n'a pas le droit de contraposer :-(

christophe c

Et bé, je crois bien que je me suis trompé: j'avais trouvé une astuce de tête qui me semblait pas mal, mais en tapant, ça marche pas. Tant mieux. J'espère que ce n'est pas possible à prouver (que $E$ est forcément un singleton)

Pour les gens qui ont peur de la logique intuitionniste, je vais en faire une traduction classique et une question dans le présent fil. Mais il me faut un peu de temps.

christophe c

Voilà la question 561 traduite au plus près (sans balancer 3 pages).

Question 574: en pièce jointe

christophe c

Question 575: je crains de l'avoir déjà posée, mais bon.

Existe-t-il une partie $A$ de $\R$, dense et de complémentaire dense telle que pour tous réels $a,b$, avec $a\neq 0$, il existe un réel $c$ tel que $\forall x\in \R: A(ax+b) = A(x+c)$?

christophe c

Question 576: la question verte du lien obtenue en cliquant

samok

question 2.0 : de quoi la forme est-elle la forme ?

question 2.0.000000001 : à quoi le formalisme mène-t-il ?
on pourra demander conseil à la lumière, mais cela ne constitue pas une preuve.

S

christophe c

A propos de forme, tu viens de m'inspirer une série de questions.

Soit une expression qu'on peut écrire avec des lettres et les signes $\to; \wedge; \vee$. On interprète ensemblistement les signes de la manière suivante: $a\to b$ désigne $b^a:=$ l'ensemble des applications de $a$ dans $b$, $a\wedge b$ désigne $a\times b:=$ l'ensemble des couples $(x,y)$ où $x$ élément de $a$ et $y$ élément de $b$, et $a\vee b$ désigne $a\cup b$.

Il est presque évident que si une expression a la propriété d'être non vide quelle que soient les ensembles attribués aux lettres alors cette expression est un théorème de la logique classique (exercice 577)

Soit une expression $E$. On dira qu'elle est "pleine" quand il existe une relation binaire $R(x,y)$, dont les variables libres sont les lettres $a_i$ de $E$, ainsi que $x,y$ et qui a la propriété que $ZFC$ démontre $[\forall a_1,..: \exists xR(E,x)]$ et $[\forall a_1,..,\forall x: $ si $R(E,x)$ alors $x\in E]$ et $[\forall a_1,..,\forall x,y: $ si $R(E,x)$ et $R(E,y)$ alors $x=y]$.

Il est presque évident que toute expression qui est un théorème intuitionniste est pleine (exercice 578)

Question 579: toute expression pleine est-elle un théorème intuitionniste?


Ce paradigme crée une question vague: on dispose d'une correspondance manifeste entre logique et ensembles pour $\to , \times, \cup$. Mais quelle pourrait bien être la signification de $\cap$? Mystère.

christophe c

Exercice 580: on garde les principes de la question 579. Montrer que tout théorème $E$ de la logique classique vérifie $\forall a_1,..: E\neq \emptyset$

christophe c

Exercice Question 581:

Démontrer que la catégorie des espaces topologiques métrisables est cartésienne fermée (les flèches sont les applications continues)

[size=x-small](sauf erreur, j'ai un argument simple en tête, mais je n'ai pas détaillé)[/size]

Foys

581: On peut montrer que dans cette catégorie, $B^A$ (décrire l'objet exponentiel étant la seule difficulté de l'exo) s'il existe, sera forcément égal (à bijection près) à $C^0(A,B)$ et que l'application canonique $ev_{A,B}: A\times C^0(A,B) \to B$ sera l'évaluation usuelle. Quelle métrique mets-tu sur $C^0(A,B)$ pour que ça marche?

christophe c

Je passe par un détour, mais à vue de nez la convergence uniforme me semble correspondre à ce que j'ai en tête.

Foys

C'est-à-dire qu'on veut identifier $C^0(E \times F, G)$ et $C^0(E, C^0(F,G))$. Avec la métrique de la convergence uniforme, une fonction continue $f:E \times F \to G$ serait alors toujours uniformément continue par rapport à sa première variable?

Foys

Il y a des sous-catégories pleines de la catégorie des espaces topologiques pour lesquelles 581 est vrai (sauf erreur la catégorie des espaces compacts EDIT: localement compacts EDIT 2: bon c'est compliqué en fait: https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_compactement_engendré). Pour les espaces métriques j'ai l'impression que ce n'est pas le cas.

christophe c

Tu as raison je me suis planté. Ma structure est stable par produits infinis ce n'est donc pas celle des métrisables! (De mon téléphone)

christophe c

Merci pour ton lien. Bon, pour me faire pardonner de mon erreur (j'avais prévenu que j'étais pas sûr), quelques exos standards.

Exercice 582: soit $E$ un espace topologique. Démontrer l'existence d'une produit de métrisables $Z$ et d'une application continue $j:E\to Z$ telle que pour tout espace métrisable $X$ et toute $f:E\to X$ continue, il existe $g: Z\to X$ continue telle que $f=g\circ j$.

Question 583: (réponse probable non). Soit $E$ un espace topologique séparé. Existe-t-il forcément un couple $(Z,j)$ où $j:E\to Z$ est continue, $Z$ est connexe et pour tout connexe $X$ et application continue $f: E\to X$, il existe $g:Z\to X$ continue avec $f=g\circ j$

Exercice 584: prouver que toute catégorie $C$ (qui est un ensemble) qui est "ultracomplète" (autrement dit telle que pour tout ensemble $J$ et toute famille $i\in J \mapsto J A_i$ d'objets de $C$, un produit des $A_i, i\in J$ existe) est un préordre (ie il n y a au plus une flèche par couple d'objets).

Exercice 585: on appelle "ordre complet" un ordre où toute ensemble a une borne sup et une borne inf. On appellera morphisme entre deux ordres complets une application croissante qui commute aux bornes inf et sup. Existe-t-il un ordre complet $(E,\leq)$ et une application de $j$ de $\N$ dans $E$ tels que pour tout ordre complet $(F\leq_F)$ et toute application $f$ de $\N$ dans $F$, il existe un morphisme $g:(E,\leq)\to (F,\leq_F)$ telle que $f=g\circ j$?

christophe c

Je trouve la 583 assez plaisante... :-D

christophe c

Exercice 586: (qui renforce l'intérêt de la 583). Soit $(E,d);(F,d')$ des espaces métriques. J'appelle fonction douce une application $f: E\to F$ telle que $\forall (x,y)\in E^2: d'(f(x),f(y))\leq d(x,y)$.

Soit $(E,d)$ un espace métrique. Prouver l'existence d'une espace métrique connexe $(Z,d_0)$, une fonction douce $j: E\to Z$ tels que pour tout espace métrique connexe $(F,d')$ et fonction douce $f:E\to F$, il existe une fonction douce $g: Z\to F$ telle que $f=g\circ j$

(Là encore sauf erreur.... Mais il n'y a qu'à traiter l'exo comme une question)

Foys

583: Ce n'est pas vrai.

Si $\alpha$ est un ordinal on munit $L_{\alpha}:=\alpha \times [0,1[$ de la topologie issue de l'ordre lexicographique (la plus petite contenant les ensembles de la forme $Ax=\{t\in L_{\alpha}|t>x\}$ et $B_x=\{t \in L_{\alpha}|t<x\}$. Lorsque $\beta$ est le premier ordinal non dénombrable, $L_{\beta}$ est la "longue droite" d'Alexandrov).

-Les $L_{\alpha}$ sont tous connexes (si $\alpha$ est le plus petit ordinal tel que ce n'est pas vrai, si $\alpha$ est limite $L_{\alpha}= \bigcup_{\beta < \alpha} L_{\beta}$ et si $\alpha=\{\gamma \} \cup \gamma$ alors $ L_{\beta}=L_{\gamma} \cup I$ avec $I$ homéomorphe à $[0,1[$ et rencontrant l'adhérence de $L_{\gamma}$).

Soit $K$ un espace connexe associé à $\{0,1\}$ et $j:\{0,1\} \to K$ comme dans l'énoncé. Alors pour tout ordinal $\alpha$ il y a une application $f: K \to L_{\alpha +1}$ telle que $f(j(0))=(0,0)$ et $f(j(1))=(\alpha, 0)$. Alors pour tout $x \in L_{\alpha}$ non nul, $x$ est dans l'image de $f$, sinon cette image rencontrerait chacun des deux ouverts disjoints $A_{x},B_{x}$ (voir notations du début du post) et de plus ladite image serait incluse dans leur union.
bref l'image de $K$ contient $L_{\alpha}$ donc $card( K) \geq card({\alpha})$ avec $\alpha$ arbitraire (impossible!).

christophe c

Bien joué! (tu)

christophe c

L'exercice 586 n'est pas assuré (il y a un trou dans ma preuve et en plus j'ai oublié de mettre "compact" (et connexe)). Il se transforme donc en question.

Mais voici le trou, que je transforme en question:

Question 587: soit $J$ un ensemble. On munit $[0,1]^J$ de la distance sup, ie $d(f,g):=sup_{i\in J} |f(i)-g(i)|$. L'espace métrique ainsi obtenu peut-il ne pas être connexe pour certains $J$?

Foys

Soient $f,g \in [0,1]^J$ alors $t\in [0,1] \mapsto ((1-t)f(j)+tg(j))_{j \in J} \in [0,1]^J$ est continue pour la distance sup.

christophe c

Bravo à toi foys!


La question qui suit est général et n'attend pas de réponse par oui/non, hélas. Pour éviter les bêtises dérisoires de langage, on suppose que $V$ est un ensemble inaccessible (ie transitif, contenant $\N$, stable par $X\mapsto P(X)$ et contenant comme élément toutes ses parties ayant un cardinal strictement inférieur au sien), et tous les espaces, objets, etc, considérés sont des éléments de $V$ sauf mention précise que non. On note $T$ l'ensemble des espaces topologique éléments de $V$.

Soit $E,F$ deux espaces topologiques (et $\in V$, donc). On dit que $E$ est un point de $F$ quand toute application continue de $E$ dans $F$ est constante. Exemple: les connexes sont des points des discrets. Autre exemple: les espaces infinis dont la topologie est constituée des cofinis sont des points des espaces séparés

Pour abréger $E$ est un point de $F$, on note $E|---F$ (pas de motivations liées au symbole $\vdash$, je précise). L'intérêt de cette relation c'est qu'elle est stable par produit à gauche comme à droite, ie si tous les $E_i$ sont des points de $F$ alors leur produit aussi et si $E|--- $ tous les $F_i$ alors $E|---$ produit des $F_i$.

Soit $A$ un ensemble d'espaces topologiques. On note $gauche(A)$ l'ensemble des espaces qui sont des points de tous les éléments de $A$. On note $droite(A)$ l'ensemble des espaces dont sont des points tous les espaces de $A$.

On appelle polaire gauche, un ensemble $A$ d'espaces tel que $A = gauche(droite(A))$. On appelle polaire droit un ensemble $A$ d'espaces tel que $A=droite(gauche(A))=A$.

Remarque: il suffit (et il faut) que $A$ soit de la forme $gauche(X)$ pour être un polaire gauche (même remarque à droite). En effet, il est évident que $gauche(droite(gauche(X)) \subset gauche(X)$, l'autre sens étant encore plus évident ($Y\subset gauche(droite(Y))$)

Question 588: parmi les ensembles d'espaces suivants, lesquels sont des polaires gauches (respectivement droits)?

- L'ensemble des compacts séparés
- L'ensemble des quasicompacts
- L'ensemble des produits de discrets
- L'ensemble des connexes (qui est évidemment un polaire gauche)
- L'ensemble des produits de noethériens (voir 591)
- L'ensemble des produits de métrisables
- L'ensemble des espaces séparés
- L'ensemble des espaces dont la connaissance des suites convergentes identifie la topologie

Question 589: Suffit-il d'être stable par produit pour être un polaire gauche (resp droit)?

Question 590: Un espace topologique noethérien est un espace où tout ensemble non vide d'ouverts a un élément maximal. Existe-t-il une borne universelle pour le cardinal de l'image d'une fonction continue allant d'un noethérien dans un séparé?

(Autrement dit, existe-t-il un cardinal $c$ tel que pour tout $E$ noethérien et tout $F$ séparé et toute $f:E\to F$ continue, $card(f(E))\leq c$? )

Exercice 591: un produit d'espaces noethériens est-il noethérien?

Question 592: on reprend le paradigme de la 588 (tout se passe dans $V$ inaccessible). Deux polaires gauches (resp droits) ont-ils une intersection qui est un polaire gauche (resp droit)?

Question 593: Une intersection (quelconque) de polaires gauches (resp droit) est-elle un polaire gauches (resp droits)?

Question 594 et 595: même questions que 592,593 en remplaçant intersection par union

Foys

590: L'image d'un espace noethérien par une application continue est noethérienne (exo facile. Une remarque au passage: un espace $X$ est noethérien si et seulement si toutes ses parties sont quasi-compactes). De plus tout espace noethérien séparé est fini (car alors si $n \mapsto x_n$ est une suite de points, $n \mapsto X\backslash \{x_0,....,x_n\}$ est une suite décroissante d'ouverts EDIT non ça prouve rien ça et ce n'est pas vrai. Mais je sais que j'ai raison. voir plus tard ).

Foys

Les détails:
Si $X$ est noethérien, $Y \subseteq X$ et si $Y \subseteq \bigcup_{i \in I} V_i$ est un recouvrement ouvert, alors l'ensemble des ouverts de la forme $\bigcup_{i \in F} V_i$ avec $F \subseteq I$ fini, admet un élément maximal qui recouvre forcément $Y$, donc $Y$ est quasi-compact.

Si réciproquement toute partie de $X$ est quasi-compacte alors si $(W_n)_{n \in \N}$ est une suite croissante d'ouverts, cette suite recouvre $\bigcup_{k \in \N} W_k$ qui est quasi-compact donc cette suite stationne.

Maintenant supposons que $X$ soit noethérien et séparé. Alors pour tout $x \in X$, $X \backslash \{x\}$ est quasi-compact donc compact donc fermé. Donc $ \{x\}$ est ouvert et $X$ est recouvert par les $ \{x\}$. Donc $X$ est fini.

christophe c

Bravo: en résumé, tu affirmes (et démontres) que l'image de $f:E\to F$ continue de $E$ noethérien dans $F$ séparé est forcément finie.

Remarque: pour prouver qu'un noethérien séparé est fini, c'est une ligne :-D (prendre un ouvert maximal de complémentaire infini).

Pour les visiteurs futurs, modifie ton "croissante" en "décroissante" (à propos de $n\mapsto X\setminus \{x_1,..,x_n\}$)

Exercice 596: on garde le paradigme de la 588 (tout se passe dans l'inaccessible $V$). Un ensemble $A$ d'espaces est dit canonisant quand pour tout espace $E$, il existe un espace $Z\in A$ et une ap continue $j:E\to Z$ tel que pour tout espace $F\in A$, et toute ap continue $f:E\to F$, il existe une unique application $g: Z\to F$ telle que $f=g\circ j$. Il est dit faiblement canonisant quand on prend la même définition en enlevant le "unique".

Prouver qu'un ensemble d'espaces stable par produit et sous-espaces fermés et qui contient au moins un espace séparé est canonisant (ça entraine que l'ensemble des compacts par exemple est canonisant)

Exercice597: Prouver qu'un polaire droit qui contient au moins un espace séparé est canonisant

Exercice 598: Prouver que la réponse à Q193 est oui

Question 599: Peut-on borner le cardinal de $gauche(droite(A))$ en fonction du cardinal de $A$. Précisément, on regarde les classes de l'équivalence à homéomorphisme près. On note $cd(A)$ le cardinal de l'ensemble des classes des éléments de $A$. Existe-t-il $A$ tel que $cd(A)<card(V)$ et $cd(gauche(droite(A)) =card(V)$?

Remarque: pour "l'adhérence droite", ie $A\mapsto droite(gauche(A))$, on connait la réponse puisque $droite(gauche(\{(\{2\},discrete)\})) = $ l'ensemble des espaces complètement discontinus (dont le nombre de classes est égal à $card(V)$)

christophe c

Remarque: les polaires droits, quand ils sont non vides, sont absolument énormes: ils sont stables par produits quelconques, par sous-espaces quelconques.

christophe c

Question 600: soit $T$ un topos tel que pour tous objets $A,B$ de $T: hom(A,B)$ est un ensemble. Peut-il malgré ça exister un objet $A$ de $T$ tel qu'il n'existe pas d'ensemble $E$ tel que pour tout $B$ objet de $T$, et toute flèche $f:A\to B$ qui est un épimorphisme, il existe $C\in E$ tel que $B$ et $C$ sont isomorphes?

Remarque: ça ne semble pas vrai pour une catégorie cartésienne fermée.

christophe c

Exercice 601: soit $(E,T)$ un espace topologique.
On appelle indice de noethérianité de $(E,T)$, le premier ordinal $a$ tel qu'il n'existe pas de suites strictement croissante de $a$ dans $T$.
On appelle indice de d'artinianité de $(E,T)$, le premier ordinal $a$ tel qu'il n'existe pas de suites strictement décroissante de $a$ dans $T$. On appelle espace rigide un espace topologique dans lequel une intersection quelconques d'ouverts est un ouvert.

On appelle bulle de $(E,T)$ la borne sup des cardinaux des classes d'équivalence pour la relation sur $E$ définie par $x\equiv y$ quand $x,y$ appartiennent aux mêmes ouverts (éléments de $T$).

On peut démontrer la chose suivante: pour tous $a$ cardinal, il existe $b$ tel que toute espace rigide ayant une noethérianité $\leq a$, une artinianité $\leq a$ et une bulle $\leq a$ a un cardinal $\leq b$.

Exercice 602: même question que la 601, mais pour les "espaces paresseux". Ici j'appelle un espace paresseux un couple $(E,T)$ avec $T\subset P(E)$ et on ne fait aucune autre hypothèse

Remarque: le 602 est très facile

christophe c

Conjecture 603: l'exercice est de la casser, car elle entraine des axiomes de grands cardinaux, donc n'est pas prouvable. J'ai demandé à Anatole d'utiliser ses connaissances en catégories pour sortir une généralisation "raisonnable" de la Vopenka Conjectur. Voici ce que ça donne:

soit $C$ une catégorie engendré par un petit nombre de générateurs, ie un ensemble de générateurs, $C$ elle-même pouvant être suffisamment grosse pour ne pas être un ensemble. On la suppose stable par toutes les petites limites inductives. Ce qu'on appelle "engendrée par", signifie juste qu'on part de son ensemble de générateurs puis on rajoute une à une toutes les petites limites inductives.

Alors pour toute sous-collection $E$ de $C$ qui n'est pas un ensemble il existe $A,B$ dans $E$, différents, et une flèche allant de $A\to B$

Question: cette conjecture (mal dite, car sale (collection vs ensemble), je la redirai demain en ne parlant que d'ensembles) est-elle consistante?

christophe c

[large]Question 604[/large]

Georges Abitbol

Pour la 562 :
Pour chaque suite $u$, ta $\phi(.,u)$ est continue, donc semi-continue inférieurement. Le $\sup$ d'une famille de fonctions semi-continues inférieurement l'est encore. La fonction longueur est donc semi-continue inférieurement, et on obtient ainsi un résultat plus fort, avec $\liminf$ à la place de $\limsup$. C'est bon ?

christophe c

@Georges: qui est $\phi$?

Georges Abitbol

C'est toi qui as défini cette $\phi$, elle mesure la longueur de la courbe polygonale passant par les points donnés par ta suite $u$. Peu importe $\phi$, au fond, il suffit qu'elle soit continue !

christophe c

@Georges pardon oui comme c'était dans un autre post...

Bin bravo du coup!

christophe c

[large]

Question 605

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christophe c

"Résolution" de la 603. En fait, une propriété (triviale mais je suis béotien donc je ne la voyais pas) de la limite inductive (elle est essentiellement associative) fait que la conjecture anatolienne est un cas particulier (donc est équivalente, car elle l'entraine) de la Vopenka Conjecture.

Rappel de la Vopenka Conjecture: si une collection de structures n'est pas un ensemble, il en existe deux différentes dans la collection telle que l'une est (à isomorphime près) une sous-structure élémentaire de l'autre

christophe c

Question 606 (la verte et la bleue)

christophe c

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Question 607

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christophe c

[large]

Question 608

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christophe c

Queston 609 (résolue par Mattar dans le fil) mise ici pour la retrouver plus facilement le cas échéant

christophe c

[large]Question 610[/large]

christophe c

Question 611: l'axiome suivant est-il consistant avec ZF + choix dépendant.

Enoncé: pour tout ensemble $X$, il existe $E,s$ tels que $X\subset E$ et $s$ est une surjection de $2\times E$ sur $P(E)$

Merci à Rescassol: $2=\{0;1\}$

Rescassol

Bonne nuit,

C'est quoi $2E$, pour un ensemble $E$ à priori quelconque ?

Cordialement,

Rescassol

christophe c

Question 612: l'axiome suivant est-il consistant avec ZF+choix dépendant?

Enoncé: pour tout entier $n$, tous espaces métriques compacts $E_0,..,E_{n-1}$ et toute application $f$ de $P:=[\prod_i E_i]\to n$, il existe $i\in n$ et $F$ fermé dans $P$ tel que $\forall x\in F: f(x)=i$ et $\forall y\in E_i\exists x\in F: x_i=y$

Rappel: $n=\{0;..;n-1\}$

christophe c

@Rescassol: c'est $2\times E$ où $2=\{0;1\}$