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"Il est facile de 2"

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Réponses

  • Voici une question philosophique mais formelle. On sait depuis Matiyasevic qu'il suffirait de connaitre l'ensemble des équations diophantiennes qui ont des solutions pour régler toute question mathématique (version déontologie de la preuve).

    On s'intéresse aux polynômes à coefficients dans $\Z$ à plusieurs indéterminées (il y a une infinité d'indéterminées, que l'on suppose former un ensemble)

    On note $P\leq Q$ quand dans tout anneau $A$, il est vrai que:
    $$\exists x_1,...x_nP(x_1,...x_n)=0\ implique \ \exists y_1,...y_kQ(y_1,...y_k)=0$$
    On note $T$ l'ensemble des $P$ tel que $(\Z,+,\times)\models non[\exists x_1,...x_nP(x_1,...x_n)=0]$

    [size=medium]Question 526:
    Existe-t-il une partie $A$ totalement ordonnée de $T$ pour $\leq$ qui est aussi cofinale dans $T$, ie telle que pour tout $P\in T$, il existe $Q\in A$ telle que $P\leq Q$?[/size]
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • La 526 revient évidemment à demander si étant donné $P,Q$ tous deux dans $T$, il existe $R\in T$ tel que $P\leq R$ et $Q\leq R$
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  • Question 527:

    Il est connu que $ln(x+1)-ln(x)$ ressemble à $1/x$ quand $x$ est grand.

    Soit $A$ l'ensemble des applications $f$ de $J/=]0;+\infty[\to \R$ strictement croissantes, analytiques telles que $\forall x>1000: f(x+1) = f(x)+1/x$.

    527.1) Quel est le cardinal de $A$?
    527.2) Existe-t-il $f\in A$ telle que $ln-f$ est bornée sur $J$?
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  • Question 528:

    Soit $T$ l'ensemble des applications bijectives et strictement décroissantes de $[1;+\infty[\to ]0;+\infty[$. Existe-t-il une partie $A$ de $\N^*$ et un élément $f$ de $T$ vérifiant les 3 conditions suivantes:

    1) La série des $f(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    2) La série des $f^{-1}(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    3) Il n'y a pas de suites arithmétiques arbitrairement longues d'éléments de $A$
    ?
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  • 528: prendre $f(x)=\log (x)$ et $A=\{2^n|n \in \mathbb N \}$.
  • pardon, j'avais pas vu "dstrictement décroissantes".
  • Qu'à cela ne tienne, on prend $f(x)=\frac{1}{\log(x)}$ et le même $A$ que dans mon post ci-dessus.
  • Ah oui bravo, mais j'ai mal formulé avec mes crochets. Je voulais que $f$ comme $f^{-1}$ tendent vers $0$ en $+\infty$. Pas grave, j'en formulerai une autre.
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  • Question 528bis:

    Soit $T$ l'ensemble des applications bijectives et strictement décroissantes de $]0;+\infty[\to ]0;+\infty[$. Existe-t-il une partie $A$ de $\N^*$ et un élément $f$ de $T$ vérifiant les 3 conditions suivantes:

    1) La série des $f(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    2) La série des $f^{-1}(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    3) Il n'y a pas de suites arithmétiques arbitrairement longues d'éléments de $A$
    ?
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  • 526: Si $P \in \Z[X_1,...,X_k]$ et $Q \in \Z[X_1,...,X_l]$, notons $P \otimes Q = P(X_1,...,X_k)Q(X_{k+1},...,X_{k+l})$
    $\Z$ étant un anneau intègre, $T$ est stable par $\otimes$. De plus pour tous $P,Q$, $P \leq P \otimes Q$ et $Q \leq P \otimes Q$.
  • 528 bis: oui si nous prenons $f(x)= \frac{1}{\log(1+x)}$, de sorte que $f^{-1}(y)= \exp (\frac{1}{y})-1$; et $A$ l'ensemble des nombres premiers, $A=\{p_n|n \in \N\}$ avec $p_n \sim n \log (n)$ (je me sers du théorème des nombres premiers ce qui n'est pas vraiment trivial certes). Après on calcule ;-)
  • Bravo pour la 526. Je l'avais tourné de manière "merveilleuse" pour éviter que les lecteurs trouvent trop vite ton argument mais tu veillais au grain

    Pour la 528bis, je ne savais pas qu'il n'y avait pas de suites arithmétiques arbitrairement longues de nombres premiers j'avais même cru lire je ne sais plus où le contraire :-S
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  • Par contre, avec ton idée des $2^n$ ça doit marcher non?
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  • Ah bin, non à cause de $f^{-1}$
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  • 527:
    Soit $u_n: z \in \C \backslash \{-k, k \in N\} \mapsto \frac{1}{(n+z)^2}$. Soit $A >0$. Pour tout $z \in \C$, $Re(z) \geq A \implies |u_n(z)| \leq \frac{1}{(n+A)^2}$ ce qui prouve que la série de fonctions holomorphes converge normalement sur tout ouvert de la forme $V_A =\{z \in \C| Re(z) > A\}$ avec $A>0$, vers une limite qui du coup est aussi holomorphe. Soit $u$ la somme de cette série, définie sur $V_0$. L'ouvert $V_0$ étant simplement connexe, il existe dessus une primitive $f$ de $u$, holomorphe (on va supposer $f(1)=0$).
    Comme $f'(z+1)-f'(z)= u(z+1)-u(z)=\frac{-1}{z^2}$, il existe $c \in \C$ tel que $f(z+1)-f(z)=c+\frac{1}{z}$ pour tout $z \in V_0$. De plus comme pour tout $z$, $u_n(\overline{z})= \overline{u_n(z)} $, $u(\overline{z})= \overline{u(z)}$ et donc $z \mapsto \overline{f(\overline{z})}$ est aaussi une primitive de $f$ s'annulant en $1$, donc cette dernière fonction est égale à $f$ du coup $f(\R_+^*) \subseteq f(\R)$. En particulier $c \in \R$.
    L'application $g:x \in \R_+^* \mapsto f(x)-cx \in \R$ vérifie alors:
    (*) $g$ est analytique (le but de tous ce laïus sur l'holomorphie) et réelle.
    (**) $\forall x>0, g(x+1)-g(x)=\frac{1}{x}$.

    Vérifions que (***): $g$ est strictement croissante. On a $g'(x)= -c+\sum _{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(x+n)^2}$, donc $g'$ est décroissante et tend vers $-c$ en $ +\infty$. On a alors $c=0$ sans quoi on aurait $g(x) \sim -cx$ en $+\infty $ et notamment $g(n) \sim -cn$ alors que $g(n)= g(1)+ \sum_{k=1}^n \frac {1}{k} \sim \log(n) $ quand $n \to +\infty$.
    Comme donc $c=0$ on a $g'>0$ et $g$ strictement croissante.

    Noter que si $\lambda \in \R$ alors $x \mapsto \lambda+g(x)$ vérifie encore (*), (**) et (***) et que d'autre part le cardinal de l'ensemble des fonctions analytiques est majoré par celui de $\R$. D'où le cardinal de l'ensemble des fonctions convenables.

    Enfin: (527.2)
    Soit $x\geq 1$, il existe $y \in [0,1[$ et $n \in \N$ tel que $n+y=x$ et on a :$$|g(x)- \log(x)| \leq \big |g(1+y) \big|+ \big|-\log(n+y)+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+y)} \big|$$. La majoration du terme de droite en log, se fait via un encadrement et des inégrales.
  • 528:Pour les nombres premiers j'ai été distrait, voir: http://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression
  • Je suis impressionné
    Bravooooo

    Mais pour la 528bis? T'es sûr de ton coup? edit: tu as répondu ci-dessous
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  • Non cf théorème de Green-Tao un message au-dessus du tien.
  • Merci pour le lien
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  • 528
    On prend $A=\{2^n, n \in \N\}$ et $f(x)=\exp(\frac{1}{x}-1)$ si $0<x<1$ et $\frac{1}{1+\log(x)}$ si $x \geq1$ (en fait $f=f^{-1}$).
  • Ah pas mal le court-circuitage!!
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  • Question 530

    Au fond à vouloir trop général, foys m'a bien grillé avec son involution :-D , donc je modère un peu la 528 et je pense qu'elle devient plus difficile.

    Existe-t-il $(A,f,g)$ avec:

    1) $A\subseteq \N$ ne contient de suite arithmétique arbitrairement longue
    2) $f,g$ sont des bijections de $\R\to \R$ strictement croissantes
    3) La somme des $1/f(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    4) La somme des $1/g(n)$ quand $n$ parcourt $A$ diverge
    5) $f,g$ sont réciproques l'un de l'autre


    edit: merci foys
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  • Question 531: celle-ci est presque insolemment naturelle et probablement assez facile.

    1) On appelle hypergraphe un couple $(S,A)$ où $A\subseteq P(S)$
    2) On appelle coloration de $(S,A)$ une application élément de $S^S$ telle que $\forall X\in A: f_{|X}$ n'est pas constante
    3) On appelle grapho un couple $(S,T)$ tel que $T$ est un ensemble d'applications de $S\to S$ vérifiant $\forall f,g$ dans $S^S$ si $f\circ g\in T$ alors $g\in T$.

    Soit $(S,T)$ un grapho. Existe-t-il forcément $A$ tel que $(S,A)$ est un hypergraphe et $T=$ l'ensemble des colorations de $(S,A)$?
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  • 530 y a-t-il un lien entre $f$ et $g$?
  • Ah oui pardon elles sont réciproques lune de l'autre (de mon tel)
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  • Question 532

    une question à mon avis sur "les lois de la Nature" quand elles deviennent des lois des maths. Bien qu'handicapé en calcul pour pouvoir investiguer toute l'ampleur du phénomène et la magie du déterminant, je suis fasciné par les propriétés qui se transmettent d'une matrice à sa transposée dans un anneau commutatif quelconque "ce qui est vrai pour les lignes est vrai pour les colonnes quand il s'agit de blabla"

    Cette question m'est inspirée par le fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1015519,1015519#msg-1015519

    Soit $n$ un entier. On se place dans l'anneau $A:=\Z[\{\N^2 + \N\}] $ que l'n notera plus commodément $\Z[(X_{i,j})_{(i,j)\in \N^2}, (Y_j)_{j\in \N} ]$

    Soit $M$ la matrice carrée à n lignes, n colonnes dont le coefficient $(i,j)$ est $X_{i,j}$. On note $V:=(Y_1,...,Y_n)$. Soit $J$ l'idéal qui traduit la volonté $MV=0$ et rien qu'elle.

    Existe-t-il un uplet de polynômes $U:=(P_1,...,P_n)$ dans $A$ tels que vu dans dans $A/J$ on a $UM=(0,...,0)$ et vérifiant de plus que chaque coordonnée $Y_i$ de $V$ soit dans l'idéal engendré par $P_1,...,P_n$ et par $J$?


    Remarque: cette question demande de "construire le calcul" qui rend compte de la "loi de la nature suivante": dans tout anneau commutatif, une matrice qui a ses colonnes liées a aussi ses lignes liées
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  • Question 534:

    au fond le fait qu'on ait affaire à un anneau crypte peut-être un peu les choses. Plaçons-nous donc dans un $(E,+,\times)$ tel que $\times$ est distributive par rapport à $+$ (autrement dit, pas de 0, pas de 1, pas de groupe additif, etc). Les deux opérations sont supposées commutatives et associatives.

    Soit $S:=\{-;+\}$. Posons $Z:=S\times E$ et on notera plus simplement $+a$ ou $-a$ ses éléments, les uns étant appelés positifs (ie les $(+,x)$) et les autres négatifs (ie les $(-,x)$) . Etant données une suite $u$ de longueur $n$ d'éléments de Z et une suite $v$ de même longueur d'elts de $E$, on a la relation d'orthogonalité naturelle suivante: $(u\perp v):=[\sum_{i\in \{j\mid u_j\ negatif \}} |u_i|\times v_i= \sum_{i\in \{j\mid u_j\ positif \}}|u_i|\times v_i]$, en ayant noté $|(i,x)|:=x$ quand $(i,x)$ est dans $Z$.

    Une matrice d'éléments $M$ de $E$ est dite avoir ses lignes liées s'il existe $u\in Z$ tel que pour toute colonne $C$ de $M: u\perp C$.

    On peut alors se poser les questions dont la réponse est connue pour les anneaux:

    questions 534.1) une matrice d'éléments de $E$ ayant strictement plus de lignes que de colonnes a-t-elle forcément ses lignes liées?
    question 534.2) une matrice carrée d'éléments de $E$ ayant ses lignes liées a-t-elle forcément ses colonnes liées aussi?
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  • Question 535: est-ce que tout anneau commutatif unitaire $A$ a la propriété suivante?

    Pour toute matrice à coefficient dans $A$ ayant strictement plus de colonnes que de lignes, il existe une colonne $C$ telle que $MC=0$ et tous les coefficients de $M$ sont dans l'idéal engendré par les coordonnées de $C$.
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  • Question 536: est-ce que tout anneau commutatif unitaire $A$ a la propriété suivante?

    Pour toute matrice à coefficient dans $A$ ayant strictement plus de colonnes que de lignes, il existe une colonne $C$ telle que $MC=0$ et tous les coefficients de $M$ sont annulés par n'importe quel élément qui annule toutes les coordonnées de $C$


    Les 535 et 536 ne sont pas très difficiles
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  • Question 537:

    Soit $A$ un anneau commutatif et $M$ une matrice à coefficients dans $A$ de dimension $n\times p$. On considère $J(M):=$ l'ensemble $\{x\in A\mid \exists$ une matrice colonne $C: p\times 1$ telle que $ MC= \begin{pmatrix} x\\0\\.\\.\\0 \end{pmatrix}
    \}$

    531.1/ Est-ce que $J(M)$ est forcément un idéal principal?
    537.2/ Même question en supposant que $n=p$?


    (remarque: l'ensemble vide est considéré comme un idéal ici)
  • Question un peu vague 538:

    On appelle $T$ l'ensemble des applications de IN dans IN programmables par ordinateurs.

    Peut-on construire une équation fonctionnelle (sans paramètre, avec les signes usuels) ou équation fonctionnalo-différentielle ayant une unique solution $f$ dans $C^\infty$ telle que $\forall g\in T\exists p\in \N\forall n>p: f(p)>g(p)$?
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  • Question 539 inspirée du fil en lien

    Soit $E$ un ensemble et deux applications $f,g$ de $E$ dans $\R$ telles que $\forall x,y$ dans $E: f(x)g(y)=f(y)g(x)$. A-t-on forcément l'existence de $k\in \R$ tel que $(f-kg)(g-kf)=0$?
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  • Question 540 (pour voir si le godélisme peut se transférer aux maths "ordinaires" sans codage)

    Soit $E$ l'ensemble des suites finies à valeurs dans un ensemble $F$. Peut-il exister une partie $Q$ de $P(E)$ telle que $[\forall A: $ on a $(\forall x \{u\in E \mid x+u\in A\}\in Q)$ si et seulement si $(A \notin Q)]$ où $x+(u_1,..,u_n):=(x,u_1,u_2,...,u_n)$
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  • 539 est un corollaire direct de 512.
  • Merci pour cette (courte) réponse :-D
  • On peut aussi le prouver en quasi une ligne avec un calcul. Je te laisse chercher. :D
  • Question 541

    voici un étrange petit phénomène. Il est relativement routinier de prouver un certain $\exists n$ suivi d'un certain énoncé, et le forcing donne un peu gratuitement un $\exists p\forall n>p$ le même blabla. J'ignore si c'est facile sans forcing.

    Pour simplifier, je présente les choses dans $\R$.

    Soit $A$ une suite de parties de $\R$ et $B$ une partie de $\R$. On dira que $B>A$ quand il existe une fonction Lipschitzienne de $X:=\prod_nA_n$ de rapport 1/10 en dotant $X$ de la distance $d_\infty(u,v):=sup_n d(u_n,v_n)$ telle que:

    $\forall x\in \R^\N: [(\exists n :x_n\in A_n)\iff (f(x)\notin B)]$

    Soit $A$ une suite de parties de $\R$ chacune non constantes. Prouver qu'il existe $n\in \N$ tel que pour tout entier $p>n: non(A_p>[k\mapsto A_{p+k+1}])$
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  • Exercice 542:

    soit $E,F$ des ensembles. Soit $\phi$ une application de $F^E$ dans $P(E)\setminus \{\emptyset\}$. On suppose que pour tout $x,y$ dans $E$, il existe $a\in F$ tel que pour toute application $f\in F^E$ telle que $f(x)=a$, on a que: $y\in \phi(f)$. Prouver que $\forall x\in E\forall y\in F\exists f\in F^E: [x\in \phi(f)$ et $f(x)=y]$
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  • R542 : Le cas où $E$ est un singleton est évident. On suppose donc que $E$ a au moins deux éléments.

    On suppose le résultat faux : il existe donc un $x_0\in E$ et un $ z_0\in F$ tels que $\forall f\in F^E$, si $f(x_0)=z_0$ alors $x_0\notin \phi(f)$.

    On choisit $x_1\in E$, distinct de $x_0$, et on applique l'hypothèse de la question à $x:=x_1$ et $y:=x_0$, ce qui donne un $a\in F$ tel que pour tout $f$, si $f(x_1)=a$ alors $x_0\in\phi(f)$.

    Or, comme $x_0$ et $x_1$ sont distincts, il existe $f\in F^E$ telle que $f(x_1)=a$ et $f(x_0)=z_0$, ce qui donne respectivement $x_0\in \phi(f)$ et $x_0\notin \phi(f)$, une contradiction.

    On a donc bien $\forall x\in E\forall y\in F\exists f\in F^E: [x\in \phi(f)$ et $f(x)=y]$.
  • Bravo Mattar, en voici un autre dans le même genre

    Exercice 543

    Soient $E,F$ des ensembles. Soit $\phi$ une application de $F^E$ dans $P_{\infty} (E)$. On suppose que pour tout $x\in E$ il existe un ensemble fini $G$ tel que $\forall y\in E\setminus G\exists a\in F\forall f\in F^E$ si $f(y)=a$ alors $x\in \phi(f)$.

    Prouver la même conclusion qu'à la question 542


    ($P_{\infty} (E)$ est l'ensemble des parties infinies de $E$)
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  • Un sympa vu sur un autre forum:
    Exercice 544
    Peut on construire des parties $X,Y$ de $\mathbb R$ non homéomorphes, mais telles qu'il existe des applications $f: X \to Y$ et $g: Y \to X$ continues et surjectives?
  • Merci foys, je ne donne pas de solution, indice c'est beaucoup plus facile qu'il n'y parait, mais dès qu'on voit le mot "topologie", souvent on pense à des ensembles compliqués sans penser à ceux de tous les jours
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  • Question 545:

    même question que la 544 mais où on demande en plus que les deux parties soient denses

    Question 546:

    Existe-t-il des parties denses de $\R$, chacune de complémentaire dense, de même cardinal et non homéomorphes
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  • Ingrédients pour 546: Soit $(E,d)$ un espace métrique complet. Soit $A$ un sous-ensemble de $E$. Alors il existe une métrique sur $A$ réalisant la topologie induite par $E$ et pour laquelle $A$ est complet si et seulement si $A$ est une intersection dénombrable d'ouverts de $E$.
    Après on bricole et on exploite Baire, l'énoncé étant plus impressionnant que difficile (ex: $\R \backslash \Q$ et $(\R_+ \backslash Q) \cup (\Q \cap \R_-)$)
  • 545:
    $A:= \R \backslash \Z$ et $B:=\R \backslash (\N^* \cup \{\frac{1}{n}| n \in \N^*\})$ marchent sauf erreur.
  • Question 547:

    L'ensemble suivant est-il NP-complet: l'ensemble des systèmes (finis) d'équations affines sur $F_3:=\Z/3\Z$ qui ont au moins une solution qui n'est composée que de 0 et de 1 (ie pas de -1 dans le uplet).
  • 537. Non. Considérer $A=\Z[X]$ et $M=\begin{pmatrix}2 & X \cr 0&0 \end{pmatrix}.$

    Alors, $J=(2,X)$ n'est pas principal.
  • Merci Greg, je vais méditer cet exemple!
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  • On peut généraliser facilement. Soit $A$ un anneau, possédant un idéal $I$ non principal engendré par $p$ éléments, $I=(a_1,\ldots,a_p)$. Soit $M$ une matrice dont la première ligne est $(a_1 \cdots a_p)$ et dont les autres lignes sont nulles.

    Alors $J(M)=I$, et est donc non principal.
  • Ah bah oui c'est tout bête en fait! Merci, c'est très clair.
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