Repère non orthogonal : pourquoi ?

Bonsoir,
Question bizarre, j'aurais dit « Pourquoi privilégier outrageusement les repères orthonormés ? ».
Si je me souviens bien quand j'étais apprenant on faisait de l'orthonormé en maths mais les problèmes plus concrets n'étaient souvent ni orthogonaux ni, surtout, normés.
Je cite de de mémoire les repérages dans un dessin, notamment en perspective~...
En quittant un peu notre centre d'intérêt la plupart des diagrammes utilisent des unités différentes sur les deux axes, où est la norme ? Est-ce q'une minute est plus « longue » qu'un mètre ?

Pour montrer que les médianes d'un triangle sont concourantes, on peut par exemple raisonner analytiquement. Le faire dans un repère adapté au triangle n'est alors pas idiot. (Bon ce n'est pas le plus futé non plus.)

À partir du moment où on a un problème affine, on n'a pas besoin de considérer un repère orthonormé (et ça n'a de toute façon a priori pas de sens). Cela dit, c'est parfois tout de même utile. La vie est compliquée.

Mon deuxième paragraphe. Quand tu as un problème purement affine (c'est-à-dire quand tu as simplement une structure affine, pas une structure euclidienne : pas de produit scalaire et donc ni norme ni orthogonalité) tu n'as même pas la notion de repère orthonormal. Le fait que les médianes d'un triangle soient concourantes est un exemple de problème affine : tu as simplement besoin de la notion de milieu, de droite passant par deux points etc. Tu as simplement besoin de la notion de plan affine. Le fait que les médiatrices soient concourantes n'est pas un problème affine : pour définir les médiatrices, tu as besoin de la notion d'orthogonalité. C'est plus clair ?

Dès que tu as un problème affine, tu peux donc espérer avoir une preuve raisonnable avec un repère non orthogonal. Par exemple le fait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, ... D'ailleurs, tu peux décréter que le repère que tu as choisi est orthonormé (c'est-à-dire définir le produit scalaire comme étant l'unique produit scalaire qui rend ce produit scalaire orthonormé). Là ça devient sans doute hors de porté pour un lycéen mais je te laisse digérer cela pour lui !

Le milieu d'un segment peut-il être défini sans convoquer la distance entre deux points?
(peut-être que ma question est stupide mais minuit c'est l'heure des questions stupides B-)- )

Coup double :

@FDP :
Soit un segment AB. Construire un segment parallèle CD.
Soit P l'intersection de AC et BD.
Soit Q l'intersection de AD et BC.
La droite PQ coupe AB en un point M appelé milieu de AB.

@Triadmissible
Prouver que M ne dépend pas du choix de C et D.
Prendre A:(-1,0), B:(1,0), C(u,v), etc.