Gradient à la frontière de son domaine

Bonjour tout le monde,

J'ai un petit problème d'analyse convexe que je n'arrive pas à résoudre, pourtant je suis quasiment sûr que le résultat existe déjà. Considérons une fonction convexe $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ et un ensemble
convexe fermé non vide $C$ tel que $\mbox{dom}f=C$, $\mbox{dom}\partial f=\mbox{Int}C$, $f$ est continue sur $C$ et de classe $C^1$ sur $\mbox{Int}C$.

Peut-on établir que pour tout élément $x$ à la frontière de $C$, et pour toute suite $(x_n)$ d'élements de l'intérieur de $C$ convergeant vers $x$, on a

$$\lim_{n\rightarrow+\infty} \nabla f(x_n).(x-x_n)=0?$$

La notation $y.z$ désigne le produit scalaire de $y$ par $z$. En utilisant le fait que le graphe de $f$ est situé au dessus de ses tangentes et que $f$ est continue sur $C$, j'ai déjà établi que

$$\limsup_{n\rightarrow+\infty} \nabla f(x_n).(x-x_n)\leq0.$$

Il ne resterait plus qu'à établir que la limite inférieure est positive en utilisant le fait que le domaine du sous-différentiel de $f$ reste dans l'intérieur de $C$, mais là dessus je bloque.

Avez-vous quelques idées?

Merci beaucoup,
Blue.