Équation fonctionnelle

Mtlse
Mtlse
dans Analyse
Bonjour tout le monde.

Voici un bel exercice pour les amoureux des équations fonctionnelles.

Trouver toutes les fonctions $f$ deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que pour tout $x$ et $y$ non nul on a :

$$xf\left(\frac{f(y)}{x}\right)=yf\left(\frac{f(x)}{y}\right)$$

Bonnes vacances d'été.

Réponses

  • breukin
    breukin
    Je trouve entre autres $ \displaystyle t^{-\phi} $ et $ \displaystyle t^{1/\phi} $ (nombre d'or).
  • cedex
    cedex
    breukin peux-tu poster ta démarche ?
  • clemclem
    clemclem
    En particulier, justifier le fait que les fonctions que tu proposes sont deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$.
  • breukin
    breukin
    Effectivement, j'avais passé sur le R
    Ma démarche est d'avoir cherché des fonctions de type x^a.
    Après, voir si on peut abouter un x^a avec un (-x)^b ou un -(-x)^b.
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