Question simple sur les distributions ?

EDP
EDP
dans Analyse
Extrait du livre : "Distributions, Analyse microlocale, Equations aux dérivées partielles" de Claude Wagschal.


Une distribution n'est pas nécessairement localement intégrable.

L'exemple le plus simple est la distribution de Dirac $\delta_a$.

Supposons en effet qu'il existe $f \in L_{loc}^1(\Omega)$ telle que $\varphi(a) = \int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx$ pour tout $\varphi \in {\cal D}(\Omega)$

alors si ${\Omega}' = \Omega \setminus \{a\}$, on aurait $\int_{{\Omega}'} f(x) \varphi(x) dx = 0$ pour tout $\varphi \in {\cal D}({\Omega}')$, d'où ... .


Je ne comprends pas le passage de la 3ème ligne à la 4ème ligne.

Réponses

  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour,

    Bonjour, si $\varphi\in\mathcal{D}(\Omega')$, alors on peut naturellement prolonger $\varphi$ en un fonction de $\mathcal{D}(\Omega)$ en posant $\varphi(a)=0$.
    Comme un singleton est de mesure nulle,
    $$\int_{\Omega'} f(x)\varphi(x)\ \mathrm{d}x = \int_\Omega f(x)\varphi(x)\ \mathrm{d}x = \varphi(a)=0$$
  • EDP
    EDP
    Exemple 1.2.1

    L'espace $L^2(\Omega)$ étant séparable [58, corollaire 2.32.3], il admet une base hilbertienne dénombrable $(e_n)$.

    Une telle suite $(e_n)$ converge vers $0$ dans ${\cal D}'(\Omega)$.

    On a en effet $<e_n, \varphi> = (\varphi | \overline{e_n})$, en notant $(\bullet | \bullet)$ le produit scalaire usuel de $L^2$ et par conséquent la suite $(<e_n, \varphi>)$ appartient à $l^2(\N)$ et converge donc bien vers $0$.


    Je ne comprends pas la 2ème partie de la 4ème ligne.
  • EDP
    EDP
    Remarque :

    J'ai tous les tomes de Claude Wagschal, mais je suis chez mes parents et ils sont dans mon appartement, sauf un.

    De plus, je crois que j'ai un tome à actualiser.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Salut,
    comme $(<e_n, \varphi>)$ est dans $l^2$ elle est de carré sommable, donc la suite de terme général $(<e_n, \varphi>)^2$ tend vers 0.
    Cordialement
  • EDP
    EDP
    A maxime T.

    On a bien :

    1) Toute série convergente, a son terme général qui tend vers $0$.

    2) $\displaystyle{{(a_n)}_{n \in \N} \in l^2(\N) = l^2(\N, \mathbb{K}) \Longleftrightarrow {(a_n)}_{n \in \N} \in {\mathbb{K}}^\N \,\, et \,\, \sum_{n \in \N} |a_n|^2 < + \infty}$.

    3) $< e_n, \varphi> = {(\varphi |\overline{e_n})}_{L^2} = \int_{\Omega} \varphi(x) \overline{e_n}(x) dx$

    $\displaystyle{{(< e_n, \varphi>)}_{n \in \N} \in {\mathbb{K}}^\N \,\, et \,\, \sum_{n \in \N} |< e_n, \varphi>|^2 = \sum_{n \in \N} |{(\varphi |\overline{e_n})}_{L^2} |^2 \leq { \left\| \varphi \right \|}_{L^2}^2 < + \infty } $ grâce à l'inégalité de Bessel.
  • Tonm
    Tonm
    Tu veux une réponse ou bien.. Et pour ces réponses ça ne va pas pour moi
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