Calcul d'une intégrale

tutifruitti
tutifruitti
dans Analyse
Voilà $A=\int e^{x}ch(x)dx$
j'intègre par parties
en intégrant $e^{x}$ et en dérivant $ch(x)$
d'où (1) $A=e^{x}ch(x)-\int e^{x}sh(x)dx$
j'intègre encore par parties
en intégrant $e^{x}$ et en dérivant $sh(x)$
d'où (2) $\int e^{x}sh(x)dx=e^{x}sh(x)-\int e^{x}ch(x)dx$
(1) et (2) donnent
$A=e^{x}ch(x)-(e^{x}sh(x)-\int e^{x}ch(x)dx)$
$A=e^{x}ch(x)-e^{x}sh(x)+A$ c'est une absurdité

Question où est l'erreur ?

Réponses

  • h
    h
    Écris les choses proprement et ton problème disparaîtra. Si tu mélanges intégrale, primitive, fonction et valeur d'une fonction en un point il n'est pas surprenant que tu aies des soucis. Chercher à être rigoureux résoudra ton problème.
  • Rouletabille
    Rouletabille
    Remplace ch par son expression ...
  • breukin
    breukin
    Remplacer ch par son expression ne va pas répondre à la question qui est "où est l'erreur ?" et non "comment calculer ?".
    Ici, le calcul correct conduit à A=A, ce qui ne me semble pas être une absurdité.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour plussoyer dans le sens de H: quand on va trop vite et qu'on ne trouve pas le résultat, il faut aller moins vite, c'est à dire détailler toutes les étapes. Tu parles d'intégration par partie, détaille précisément ce que tu fais, qui sont les fonctions du produit et leur dérivées?

    PS:
    Des intégrales sans bornes, cela ne me semble pas top cette façon de faire.
  • Poirot
    Poirot
    Bonsoir,

    L'erreur vient de ton utilisation de la formule d'intégration par parties : tu n'utilises pas les valeurs aux bords de tes fonctions. En fait la formule n'a pas de sens si tu cherches une primitive de fonction. Comme l'a dit H, il ne faut pas confondre intégrale sur un segment d'une fonction et primitive de cette même fonction...
  • troisqua
    troisqua
    Bonjour,

    Ton erreur commence par le fait que ton $A$ n'est pas défini (il ne l'est qu'à une constante près). Comme tu recommences cette bêtise 2 fois et que tu réinterprètes cette même bêtise en une égalité à la fin, tu crois voir un truc absurde.alors que ce que tu écris à la fin est, comme au début, une égalité de fonctions à une constante près.
  • Rouletabille
    Rouletabille
    Si l'on utilise ce que l'on appelait jadis les "intégrales indéfinies", sans bornes, alors il faut faire les calculs à une constante additive près. Tuffifrutti a prouvé que $e^{x}ch(x)-e^{x}sh(x)$ est constante, ce n'est pas faux, mais cela ne donne pas l'intégrale demandée. Pour trouver cette intégrale, mieux vaut faire ce que j'ai dit.
    Et mieux vaut renoncer aux "intégrales indéfinies", et intégrer entre deux bornes, cela évitera ces erreurs.
  • h
    h
    Mieux vaut être rigoureux. Tout devient plus simple et on élimine tout risque d'erreur (sauf étourderie).
  • tutifruitti.
    tutifruitti.
    Pourtant avec cos(x) , sin(x) tout marche bien même si on ne met les bornes dans les intégrales

    OUVREZ VOS YEUX

    J'intègre par partie en primitivant exp(x) et en dérivant cos(x)

    $D=\int e^{x}\cos(x)dx= e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\sin(x)dx$

    encore avec IPP en intégrant exp(x) et en dérivant sin(x)

    $D=e^{x}\cos(x) + e^{x}\sin(x) - \int e^{x}cos(x)dx $

    d'où $D=\frac{1}{2}(e^{x}\cos(x) + e^{x}\sin(x))$ qui est une primitive de $e^{x}\cos(x)$

    La même démarche ne fonctionne plus avec ch(x) et sh(x) voir mon premier post.

    Quelle mystère entoure ces fonctions hyperboliques ?
  • h
    h
    Si tu le prends sur ce ton tu risques de ne pas avoir beaucoup d'aide. De nombreuses indications t'ont déjà été fournies. Le minimum serait d'en tenir compte.
  • Jean-charles
    Jean-charles
    Comme on te l'a dit, tu manques de rigueur dans ce que tu écris.

    Par exemple quand tu écris : $\int e^{x}sh(x)dx=e^{x}sh(x)-\int e^{x}ch(x)dx$ .

    La bonne façon de le formuler pourrait être :
    Une primitive de $x\mapsto e^x\sinh (x)$ sur $\mathbb R$ peut s'écrire sous la forme $e^x\sinh (x)$ moins une primitive de $e^x\cosh (x)$ plus une constante réelle.

    Et c'est là ton erreur: sans en avoir conscience tu écris des égalités entre des primitives donc à une constante réelle près.

    Pour éviter ce problème tu dois intégrer par parties en partant de $\displaystyle\int _a^b f(x) dx$ en spécifiant bien les bornes $a$ et $b$ par rapport à ton problème.
  • Jean-charles
    Jean-charles
    A=e^{x}ch(x)-e^{x}sh(x)+A

    D'ailleurs cette égalité est vraie à une constante réelle près:

    Tu as $e^x\cosh x-e^x\sinh x=e^x\times e^{-x}=1$ pour tout réel $x$.
  • tutifrutti..
    tutifrutti..
    Merci pour vos éclaircissements.
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