théorème de Lucas

Si $P$ est un polynôme à coefficients complexes, une racine du polynôme dérivé $P'$ qui n'est pas une racine de $P$ est barycentre des racines de $P$ avec des coefficients tous strictement positifs. Dans le cas où les racines de $P$ ne sont pas toutes alignées, il s'ensuit que cette racine de $P'$ ne peut être "sur le bord" du polygone qui est l'enveloppe convexe des racines de $P$.

Une suite pourrait être le cas du triangle. Si $a,b,c$ sont les racines d'un polynôme $P$ de degré 3, non alignées, alors les deux racines de $P'$ sont dans la plaque triangulaire de sommets $a,b,c$, d'après le théorème précédent. Mais plus précisément, ce sont les foyers de l'ellipse de Steiner qui est l'ellipse tangente aux côtés du triangle en leur milieu (théorème de Marden), la plus grande ellipse inscrite dans le triangle.

Encore une remarque. Le Lucas du théorème de Gauss-Lucas n'est pas notre cher Edouard Lucas à qui nous devons tant de belles choses, avec sa bonne bouille de bon vivant bien de chez nous, mais Félix Lucas qui était son contemporain.

Pour une extension du théorème de Gauss Lucas suffisamment consistante, on peut voir du côté d'une inégalité de Wilf :
Some applications of the inequality of arithmetic and geometric means to polynomial equations, Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963), 263-265. (voir sur le site de Wilf, http://www.math.upenn.edu/~wilf/reprints.html en bas de la page).

Bonjour,

Rouletabille je pense que tu as raison. Voilà une idée de démonstration (dont je ne suis pas certain) :

Soit P un polynôme de $ \mathbb{C} $, on se place dans le plan complexe. Soit $ \Lambda $ le polygone formé par l'enveloppe convexe des racines de P.
On écarte naturellement les cas où $ \Lambda $ est une droite ou un point.

On suppose par l'absurde qu'une racine $ z $ de P' (z pas racine de P) se trouve sur un côté de $ \Lambda $.
On effectue une translation (et/ou une rotation) du plan de manière à confondre l'axe des abscisses et le côté de $ \Lambda $ où se trouve $ z $ et de manière à ce que $ \Lambda $ soit au-dessus de l'axe des abscisses. On ne perd pas les propriétés de barycentre et on visualise mieux ainsi (j'ai joint une image au message).
Par convexité de $ \Lambda $ le côté auquel appartient $ z $ est l'ensemble des points de $ \Lambda $ de partie imaginaire minimale (en l'occurrence nulle).
On a donc $ Im(z)\; =\; 0 $ .

On écrit $ P\; =\; \lambda \prod _{ i\; =\; 1 }^{ n }{ { (X\; -{ \; c }_{ i }) }^{ { m }_{ i } } } $ et on pose $ \left( { c' }_{ i } \right) $ les racines de P après les isométries de multiplicités $ \left( { m' }_{ i } \right) $.
On note aussi $ z' $ la racine $ z $ de P' après isométrie.

Ayant écarté les cas triviaux où $ \Lambda $ est une droite ou un point, après translation on a : $ \exists \; i,\; Im({ c' }_{ i })\; >\; 0 $

Dans la démonstration du Théorème de Lucas on obtient :
$$ \left( \sum _{ i\;=\; 1 }^{ n }{ \frac { { m }_{ i } }{ { \left| z'\; -\; { c' }_{ i } \right| }^{ 2 } } } \right) z'\; =\; \sum _{ i\; =\; 1 }^{ n }{ \frac { { m }_{ i } }{ { \left| z\; -\; { c' }_{ i } \right| }^{ 2 } } { c' }_{ i } } $$

Les parties imaginaires des $ \left( { c' }_{ i } \right) $ sont positives et strictement pour au moins un $ { c' }_{ i } $. Les coefficients de barycentre étant positifs, en passant à la partie imaginaire dans l'équation précédente, on obtient : $ Im(z)\; >\; 0 $ ce qui est une contradiction.

Au final c'est plus dur à formaliser qu'à comprendre, on voit bien que les sommets vont tous "attirer" $z$ de leur côté et que cela ne permet pas d'avoir de racine de P' sur les frontières de l'enveloppe convexe des racines de P (à part si $z$ est racine de P bien sûr).

PS : J'ai l'impression que mon image ne passe pas bien mais c'est convenable lorsqu'on clique dessus.