Un endomorphisme

Salut,
Le problème de Gram-Schmidt c'est que tu ne pourras pas assurer que ta base sera directe.
En fait, je pense que la réponse attendure est de prendre un $v$ orthogonal à $u$ et normé, puis de prendre $w=u \wedge v$.
A ce moment, les calculs de $f(u), f(v)$ et $f(w)$ seront aisés.

Je ne vois pas le problème pour b). Pour c) il faut d'abord trouver les matrices représentatives $A$ et $B$ dans la base $\mathcal{B}$ des endomorphismes $a(x)=\langle x,u\rangle u$ et $b(x)=u\wedge x$: on applique la définition de matrice représentative et on trouve
$$A=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right],\ B=\left[\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right],$$ ce qui fait que la matrice représentative $F$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est $F=\frac{1}{2}I_3+\frac{1}{2}A+\frac{\sqrt{3}}{2}B.$ Pour le d), pas rigolo. On choisit $v$ et $w$ orthonormaux, les plus simples possibles et tels que la somme de leurs composantes respectives est $0$ et tels que si $U=[u,v,w]$ alors $\det U=1.$ Après ça on utilise son cours de première année 'changement de base dans les applications linéaires'.

Un vissage ça ne risque pas car une application linéaire admet 0 comme point fixe. Il est possible que ce soit une rotation.