Limite et continuité

besoin_d'aide
besoin_d'aide
dans Analyse
Bonjour;

J'ai que $u_0>0$ , $u_n=u_n^+-u_n^-$ et $u\mapsto u^{±}$ est continue

Si $u_n\rightarrow u_0$, Pourquoi $u_n^+\rightarrow u_0$ et $u_n^-\rightarrow 0 $ ???

Merci.

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    Quelle est la partie positive de \(u_0\) ? sa partie négative ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    on a auusi que $u_0=u^+_0-u^-_0$ mais comme $u_0>0$ je suppose que $u^-_0=0$ !
  • shlabagoo
    shlabagoo
    Bonjour.

    $u_n^+$ est la partie positive de $u_n$ donc tend vers la partie positive de la limite $u_0$.
    $u_n^-$ est la partie négative de $u_n$ donc tend vers la partie négative de la limite $u_0$.
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Ou est ce que la continuité de $u\mapsto u^{±}$ intervient elle ?

    Merci
  • shlabagoo
    shlabagoo
    Je ne vois pas où
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Mais en général Si la somme de deux suite converge ceci n'implique pas que chaqu'une des suite converge , non ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Besoin d'aide.

    Tu n'as pas défini tes notations. C'est quoi $u$ ? et $u^+$ et $u^-$ ?

    Si par exemple $u$ est une suite réelle (mais ça ne peut pas être le cas, la notion de continuité n'a pas de sens dans ce cas), et $u^+_n=sup(u_n,0),\,u^-_n=-inf(u_n,0)$, alors pour n suffisamment grand, $u_n >0$ ce qui montre que $u^-$ est stationnaire à 0 et $u$ et $u^+$ ont les mêmes valeurs.

    Mais dans quel cadre est-on pour dire "$u\mapsto u^{±}$ est continue " ?
  • gerard0
    gerard0
    Si $u$ est une suite divergente, la suite $u+(-u)$ converge.
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    et $u_n$ converge alors $u_^+$ converge et $u_n^-$ convergent sans utiliser la continuité ?
  • gerard0
    gerard0
    Gérard0 a écrit:
    Bonjour Besoin d'aide.

    Tu n'as pas défini tes notations.
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Ok pardon j'avais pas vu , $u^+=\max(u,0)$ c'est la partie positive de $u$ , $u^-=\max(-u,0)$ c'est partie négative de $u$
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    la suite $(u_n)$ est dans l'espace $W^{1,p}$
  • gerard0
    gerard0
    Ah !

    C'est pas trop tôt !
    Comme je ne connais pas ce domaine (je ne sais pas quel est cet espace de fonctions, ni quelle topologie il y a dessus), je laisse aux spécialistes le soin de répondre.

    Cordialement.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    J'aimerais comprendre: tu cherches à utiliser la continuité de $u \mapsto u^+$, ou ne pas l'utiliser?
  • gerard0
    gerard0
    Si j'ai bien compris, Shlabagoo utilisait la continuité séquentielle de $u\mapsto u^{±}$.

    Cordialement.
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    * Je cherche a utiliser la continuité , dans l'article il est précisé "par la continuité"
  • kazeriahm
    kazeriahm
    Si $f$ est continue en $x$ et si $x_n \to x$ que dire de $f(x_n)$ ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    converge vers $f(x)$ mais quel est la relation avec ma question ?
  • gerard0
    gerard0
    Besoin d'aide,

    rédige clairement ta démonstration, tu verras bien que tu utilises l'hypothèse de continuité de l'énoncé. Si tu ne vois vraiment pas, écris-la ici.

    Cordialement.

    NB : A quoi te sert de rester dans le flou ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    J'ai que

    $u_n\rightarrow u_0$ et que $u_0>0$ donc clairement $u_0^-=0$ et j'ai que $u_n=u_n^+-u_n^-$

    donc $u_n^+-u_n^-\rightarrow u_0^+$

    et la je bloque je sais pas pourquoi $u_n^+\rightarrow u_0^+=u_0$ et $u_n^-\rightarrow 0$ ?

    peut etre que c'est la ou je doit utiliser la continuité ?
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Si quelqu'un a une idée merci de m'aider
  • Siméon
    Siméon
    Reprends les choses calmement, il y avait tout dans ton premier message.
  • JLT
    JLT
    Dans le message de kazeriahm, prends $x_n=u_n$ et $f$ une fonction continue bien choisie (laquelle?)
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    Je connais pas la fonction maximum , je ne voie ce que peut être la fonction $f$
  • JLT
    JLT
    Il y a bien une fonction continue dans ton énoncé :
    $u\mapsto u^{±}$ est continue
  • besoin_d'aide
    besoin_d'aide
    oui , donc par continuité $u^+_n\rightarrow u_0^+ $ et $u^-_n \rightarrow u_0^-$ on compose la fonction $u^+$ et $u^-$

    Merci
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