Équation différentielle non linéaire

Bonsoir,
Je vous soumets un problème posé à l'oral de Centrale l'an dernier.

On s'intéresse au problème de Cauchy $(E)$ : $\begin{cases} y\,{'}(t)=y^{2}(t)+y(t)+t^{2} \\ y(0)=0 \end{cases}$.
On montre facilement qu'il existe une unique solution maximale $y_{1}$ de $(E)$ définie sur un intervalle $I$, que cette solution est strictement positive sur $I \cap \mathbb{R}_{+}^{*}$ puis que pour tout couple $(x_{0},x)$ de $I \cap \mathbb{R}_{+}^{*}$ (avec $x_{0}<x$), on a : $\displaystyle \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1}{'}(t)}{y_{1}^{\,2}(t)} dt \geq x-x_{0}$.
En revanche, l'énoncé demande d'en déduire que l'intervalle $I$ n'est pas borné à droite.

Et là, je ne vois pas du tout comment faire !
Est-ce que quelqu'un aurait une piste à me proposer ?
Bonne soirée,
$\alpha$-Nico