Qu'est-ce qu'un écart-type ?

24roses
24roses
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour
Je ne comprends pas ce qu'est un écart-type dans le cours sur la loi normale !
En fait voici un problème qui me parait pourtant simple, mais je ne comprends pas.

On suppose que la taille d'un bébé né à terme suit une loi normale de moyenne 50 cm
et d’écart-type 2 cm. Calculer la probabilité que la taille d'un bébé né à terme soit inférieure à 48 cm.

48 = 50 - 2

Ce qui revient a dire que 48 est situe a une fois l’écart-type sous la moyenne (qu'est-ce que ça veut dire ?)

Merci par avance de toutes vos explications.

Réponses

  • Sylviel
    Sylviel
    L'écart-type est une mesure de la dispersion de la variable aléatoire.
    Je prends ton exemple
    "On suppose que la taille d'un bebe ne a terme suit une loi normale de moyenne 50 cm
    et d'ecart-type 2 cm. "
    cela veut dire que si on prend 1000 bébés qui suivent cette loi, leur taille moyenne
    (la somme des tailles sur 1000) vaut environ 50cm (c'est la moyenne) et qu'environ
    95% seront à + ou - 2 ecart-type soit entre 46 et 54cm. Si l'écart-type était plus petit
    les tailles seraient plus uniformes, s'il était plus grand les tailles seraient plus variées.

    Exemple : le poids de la population française à un écart-type assez important (il y a des
    gros, des minces, des hommes, des femmes, des petits, des grands...) (au pif je dirais un écart-type de 10kg)
    le poids des judoka de catégorie "poid léger" à un écart-type bien plus petit : ils font presque tous 60kg !!
    (un écart-type de 500g ?)
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Que ce soit en statgistiques (écart type d'une série statistique numérique) ou en probabilités(écart type d'une variable aléatoire), l'écart type est un moyen intéressant de mesurer la dispersion des valeurs. Avec un inconvénient : C'est un outil un peu théorique, sans interprétation directe.

    Pour la loi Normale, c'est un peu plus, car une fois donnés la moyenne et l'écart type, la loi est parfaitement connue. Plus : En mesurant les écarts à la moyenne en écarts types, on obtient des résultats identique. Par exemple, si une variable X suit la loi Normale, il y a 68% de chances pour que sa valeur (quand on obtient une réalisation) soit comprise entre la moyenne moins l'écart type et la moyenne plus l'écart type. Et 99,7% de chances pour que sa valeur soit comprise entre la moyenne moins 3 fois l'écart type et la moyenne plus trois fois l'écart type.

    "48 est situe a une fois l'ecart-type sous la moyenne (qu'est-ce que ca veut dire ?) " ben ... c'est le calcul que tu as fait ("sous" pour de valeur inférieure).

    Le reste est de l'application des règles de calcul sur la loi Normale, j'imagine que tu as eu un cours à ce propos.

    Cordialement.
    [modifié suite au message de H. G0]
  • h
    h
    C'est peut-être plutôt la loi normale que tu ne comprends pas. Une loi normale a deux paramètres.
    - sa moyenne (ici 50).
    - son écart-type (ici 2). Note que certains utilisent plutôt la variance comme deuxième paramètre. C'est le carré de l'écart-type donc ici ce serait 4.

    Si $X$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma$, alors $(X-m)/\sigma$ suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart-type $1$. Comme
    $$
    P(X \le m-\sigma) = P( (X-m)/\sigma \le -1),
    $$
    on voit que la probabilité qu'une variable aléatoire normale soit inférieure à son espérance moins son écart-type ne dépend en fait pas de ces deux paramètres. C'est aussi tout simplement la probabilité qu'une variable aléatoire normale de moyenne $0$ et d'écart-type $1$ soit inférieure à $-1$. Ça ne se calcule pas simplement mais on en connait des valeurs approchées que l'on trouve dans les tables ou via des logiciels (et les gens habitués à utiliser la loi normale connaissent cela par coeur).

    C'est un peu dur de t'aider sans savoir ce que tu as dans ton cours.
  • h
    h
    @gérard0 : tu ne t'es pas emmêlé dans les quantiles ?
  • gerard0
    gerard0
    Merci H.

    je pensais à 3 et j'ai écrit 2. je corrige !

    Cordialement.
  • 24roses
    24roses
    Bonjour à tous et à toutes

    Merci infiniment pour vos explications claires. Effectivement j'ai un cours la-dessus que j'avais compris, mais quand j'ai commencé à faire les exercices, je me suis aperçue que je paniquais à l’idée de n'avoir rien compris !
    Je vais m'y remettre, en espérant y arriver. Merci encore à vous.
  • gerard0
    gerard0
    A savoir :

    généralement, quand le prof fait le cours, c'est simple (il connaît parfaitement le sujet). Ensuite, quand on veut faire des exercices, on s'aperçoit qu'on n'a pas compris certaines choses, alors on réétudie le cours. Et, en faisant les exercices, on comprend de mieux en mieux.

    Cordialement.
  • diego
    diego
    Bonjour


    Juste un avis : fais un dessin de la courbe de la loi normale, place la moyenne (50) et la valeur 48 et essaie de hachurer l'aire sous la courbe de 0 à 48. T verras que c'est assez clair si ton cours est complet.
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