Dérivée 6-ème

xhr
xhr
dans Analyse
Bonjour,

Trouver la valeur de la sixième dérivée en 0 de la fonction f(x) = exp(-x^2) en utilisant une expansion de Taylor .

On connaît l'expansion de Taylor de exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... pour x=0. Je remplace x par (-x^2) et j'ai toujours les même coefficients qui correspondent aux valeurs des dérivés successives. La sixième est 1/6! = 1/720

Question : Est-ce que c'est correct ? Ou trop simple ?

Réponses

  • Bla
    Bla
    L'idée est bonne mais pas le résultat, quel est le monôme de degré 6 de $\exp(-x^2)$ ?
  • xhr
    xhr
    C'est le terme (-x^2)^3/3! ---> c'est -1/6 ?

    Merci.
  • Bla
    Bla
    C'est ça, maintenant quand tu dérives 6 fois $x^6$ qu'est-ce que tu obtiens?
  • xhr
    xhr
    Pourquoi faut-il dériver 6 fois ? On a juste besoin du coefficient de x^6 ? Non ?

    pour répondre, si on dérive 6 fois on obtient 6!
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Parce que dans l'expansion de Taylor, le coefficient devant $x^n$ c'est $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Et que sachant que ta fonction est $C^6$, pour obtenir l'expansionde Taylor de $f^{(6)}$ il suffit de dériver six fois celui de $f$.
  • FdP-HLM
    FdP-HLM
    Quand on est capable d'avoir un développement en série de la série vrai sur un intervalle qui contient $0$ , avec la formule rappelée, $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ qui donne le coefficient devant $x^n$ dans le développement en série entière en $0$, on n'a donc pas besoin de calculer effectivement cette dérivée sixième.
  • FdP-HLM
    FdP-HLM
    Le coefficient devant $x^6$ dans le développement en série entière au voisinage de $0$ de $\exp(-x^2)$ est sauf erreur $\dfrac{1}{6}$
  • xhr
    xhr
    Là, je suis complètement perdu. La valeur de la dérivé en 0 de la fonction développée c'est justement le coefficient du terme/monôme de degré 6. Donc par identification, on trouve. Pas besoin de dériver. Là, je suis perdu.
  • FdP-HLM
    FdP-HLM
    NON, la dérivée sixième en $0$ n'est pas exactement le coefficient devant $x^6$, c'est $\frac{f^{(6)}(0)}{6!}$
  • xhr
    xhr
    Oui, donc le nombre dérivé cherché c'est le coefficient devant le monôme de degré 6 (x^6), multiplié par 6!. Correct ?
  • FdP-HLM
    FdP-HLM
    OUI
  • xhr
    xhr
    Le coefficient de x^6 est -1/3!, donc multiplié par 6! ca donne -120.
  • FdP-HLM
    FdP-HLM
    Je le pense aussi.
    (j'avais fait une belle erreur de signe plus haut :-D)
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