Taylor

Bonjour,

Pour le cas $ a=0 $:

On a :
$ f(x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) x^{2n} + \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{n!} ( 0 ) x^{2n+1} $
$ f(-x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) (-x)^{2n} + \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) (-x)^{2n+1} $
Alors :
$ f(x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) x^{2n} + \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) x^{2n+1} $
$ f(-x) = \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) x^{2n} - \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{2n!} ( 0 ) (-x)^{2n+1} $
Puisque : $ f $ est paire, alors : $ f(x) = f(-x) $, et par conséquent : $ 2 \displaystyle \sum_{ n \geq 0 } \dfrac{f^{(2n)}}{(2n)!} ( 0 ) x^{2n+1} = 0 $, d'où : $ \dfrac{f^{(2n)}}{(2n)!} ( 0 ) = 0 $, pour tout $ n \geq 0 $.

Cordialement.

Bonjour.

La question n'est pas claire du tout, en particulier "la série de Taylor" est trop imprécis (laquelle?). S'il s'agit de la série de Taylor du développement en a, alors un chanfgement de variavle t=x-a ramène à a=0 et à des connaissances classiques sur les développements des séries de fontions paires ou impaires.

Cordialement.

Pablo,
Tu sembles confondre série de Taylor et série entière. Par ailleurs, ta condition de convergence du reste vers 0 est fausse.

Tu peux me corriger stp ? Parce que, j'ai fait ça quant j'avais 19 ans, maintenant, j'ai 30 ans, alors 11 ans sans jamais faire une révision de son cours depuis tout ce temps là, suffit pour l'oublier complètement.
Merci d'avance Maxime.