Non majoration de $\mathbb{R}$

Jocelyn
Jocelyn
dans Algèbre
Bonjour, lors de l'étude de mon cours il y avait une petite démonstration à faire.
Comme je pense qu'il y a plusieurs façon de le faire j'aimerai valider que ma démonstration et bonne ou fausse.


Montrer que $\mathbb{R}$ n'est pas majoré.

Voici ma démonstration:
On sait que par définition $\mathbb{R}=]- \infty; + \infty [$.
Si $\mathbb{R}$ majoré alors $\exists a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \mathbb{R} \ x \leqslant a$.
Or rien n'est supérieur ou égal à $+ \infty$. Donc $\mathbb{R}$ ne peut être majoré.

Merci.

Jocelyn

Réponses

  • francois51
    francois51
    bof

    sinon a+1 ?
  • PB
    PB
    Ça ne marche pas : \(+\infty\notin \mathbb R\).
    De plus : "rien n'est supérieur à \(+\infty\)" n'est pas une affirmation très rigoureuse.
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Salut,
    Quelle définition de $\mathbb R$ as-tu?
    J'ai de sérieux doutes sur " On sait que par définition $\mathbb{R}=]- \infty; + \infty [$"...
    Par ailleurs je ne vois pas la contracdiction.
  • Jocelyn
    Jocelyn
    Je commence à comprendre mes erreurs.
    En fait $]- \infty; + \infty [$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.
    Mais alors comment définir $\mathbb{R}$ autrement que par l'affirmation $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels ?
  • Upa0
    Upa0
    Ca dépend de ton niveau... Mais la solution a été donnée d'une manière qui ne demande pas de définition rigoureuse de l'ensemble des réels. Cela dit, $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels n'est pas une définition car alors qu'est-ce qu'un réel ?
  • Jocelyn
    Jocelyn
    Mon niveau ? Petit...

    Nouvelle démonstration:
    Il suffit de démontrer que $\forall a \in \mathbb{R}, \ \exists x \in \mathbb{R} \ x > a$.
    Si $x=a+1$ alors la relation $x > a$ est vérifiée et par suite $\mathbb{R}$ n'est pas majoré.
  • Upa0
    Upa0
    Ta démonstration est juste.

    La "définition" que l'on donne au lycée, selon mes souvenirs, est la suivante : l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses des points sur une droite. Ta démonstration est donc la transcription algébrique du fait que la droite se prolonge à l'infini.
  • Jocelyn
    Jocelyn
    Ok merci à toi...
    J'ai encore un peu de mal quand même avec les démonstration mais j'imagine que ça finira par venir.
  • h
    h
    Tu ne peux de toute façon rien démontrer sans avoir une définition de $\R$ ou sans admettre certaines propriétés de $\R$. Prouver consiste à déduire de nouvelles propriétés à partir de propriétés connues. Si tu ne connais rien des propriétés de $\R$, tu ne peux rien démontrer.
  • PB
    PB
    La "définition" que l'on donne au lycée, selon mes souvenirs, est la suivante : l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses des points sur une droite. Ta démonstration est donc la transcription algébrique du fait que la droite se prolonge à l'infini.
    Je pense que, dans ce cas, dire "la droite se prolonge à l'infini" est une démonstration (aussi valable que le truc avec \(a+1\)).
  • Judoboy
    Judoboy
    Moi j'aurais commencé par "supposons que $\mathbf{R}$ soit majoré"...
  • Upa0
    Upa0
    Effectivement, mais en fait j'imagine (peut-être par erreur) que le contexte n'est pas un cours sur les nombres réels, mais un cours sur majorants et minorants. Donc je pense que l'exercice en question présuppose qu'on a une notion intuitive de $\mathbb{R}$ : en gros, on sait des choses dessus comme $a < a + 1$. Je sais bien que ce n'est pas très précis.
  • Jocelyn
    Jocelyn
    Exactement Upa, c'est un cours sur les majorants et minorants, un petit rappel du lycée pour une meilleur transition avec le programme de MPSI.
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