Par l'absurde vs contraposée

A Christophe :

Non, tu travestis mes propos. Supposer A et déduire faux ou supposer non A et déduire faux, tout ça, dans la forme, c'est pareil. Dans les références que j'ai lues, le mot "raisonnement" ne désigne jamais un axiome mathématique, mais une technique particulière d'enchaînement d'arguments pour établir quelque chose. C'est un terme non mathématique qui relève du métadiscours (contrairement à : axiome, théorème, etc).

Ce n'est pas "ma" position personnelle, il me semble même que c'est assez dominant comme terminologie, mais peut-être que je me trompe et que vous allez m'en convaincre. Ou pas (ton dernier post, j'y comprends pas grand-chose :)o). En tout cas je ne ferai pas d'effort pour "défendre" la terminologie que je connais. Au fond même si c'est vrai que la cette terminologie est la plus fréquente, je m'en fous que les lecteurs du forum soient convaincu de contraire (et à plus forte raison encore si ce n'est pas vrai) :-D.

Effectivement, j'ai écrit identiques pour équivalentes.

Je connais la logique linéaire mais en logique linéaire c'est bien la même chose pour le bon "ou" et le bon "implique" (et de toutes façons, peut-on encore soutenir qu'on parle de l'équivalence entre les deux énoncés que tu as cité ?).

NM a écrit:

pour le bon "ou" et le bon "implique"

mouais, je n'ai pas la réponse par coeur, mais c'est la première fois que je vois un logico-linéariste oser parler d'un deuxième "implique" (je ne sais d'ailleurs pas auquel tu fais allusion :-D , car comme il y en a déjà 3, mais un seul "essentiel"...

1/ A

---

[small]o[/small] B


2/ (!A)

---

[small]o[/small] B

3/ Peut-être penses-tu à non(A "avec" (nonA)) (où "non" est le symbole orthogonal)?

EDIT: attention, j'ai anticipé ton intention, mais t u veux bien sûr parler de

l'équivalence entre

$\forall A:$ (A ou nonA$))$ et

$\forall A: $ (non(non(A)))=>$A)$

(Je donne cette précision pour les visiteurs occasionnels qui snon n'y comprendraient plus rien, il va de soi que, même en logique intu, il n'est pas un théorème que (A ou nonA)$\iff $ ((non nonA )=>A))

Je ne suis pas un "logico-linéariste" ! Je connais les définitions c'est tout !

Je ne suis pas un "logico-linéariste"

Moi non plus, c'était juste pour dire que communément, on distingue bien deux "et" et deux "ou", mais il est moins courant d'apercevoir des articles sur la question qui distinguent plusieurs implique (hormi le implique intuitionniste retrouvé via (!A)

---

o B ) parfois signalé.

Bon, maintenant, je suis malhonnête car je ne suis pas sûr vraiment ... d'avoir lu des articles de LL J'ai juste dû survoler la pub qu'en faisait Girard (quand il signalait les 2 "et" et les 2 "ou", cette remarque suffit à définir ce qu'elle st de toute façon**)

** quand on connait la CorCuHO, pas "à partir de rien" of course.

NM a écrit:

et de toutes façons, peut-on encore soutenir qu'on parle de l'équivalence entre les deux énoncés que tu as cité

Je n'en sais rien, en fait la question n'a pas vraiment de sens. Le problème est que suivant la logique dans laquelle on se place, les connecteurs changent un peu de vocation).

Par exemple, en logique classique, (si on prend comme guide les théorèmes de complétude), on peut toujours considérer dès le départ que l'ensemble (structuré) des phrases vérifie une "vraie égalité": a=non(non(a)), puisque la complétude peut se contenter d'appeler comme classe de modèles les anneaux de Boole (dans lesquels cette égalité est vraie)

En logique intuitionniste, il semble bien aussi n'y avoir qu'un seul "non" digne de ce non, par exemple si on prend comme classe de modèles les espaces topologiques.

Par contre, dès qu'on descend et par exemple qu'on prend en compte les mystères quantiques, etc, les logiques plus faibles sont en quelque sorte "du cinéma d'auteur", même si la "série télévisée" logique linéaire s'est imposée comme une émission beaucoup regardée (mais ayant peu entamé le mystère quantique).

Les "logiques" quantiques ne semblent laisser apparaître qu'un seul "non" vraiment visible qui est communément regardé comme le passage à l'orthogonal. Hélas, c'est probablement une erreur et une attestation que ce domaine n'est pas mûr. En effet, la poésie quantique oblige un espace à avoir une intersection nulle avec son orthogonal ce qui est idiot si on veut interprêter $\cap$ comme le "avec" linéaire. (Je ne sais pas, et je ne crois pas que ça ait un intérêt, si des formes bilinéaires ayant un gros cône isotrope serait une piste pour réparer cette erreur, mais une chose est sûre, ça violerait l'esprit quantique)

En log linéaire par contre, je pense (ce qui est sain) qu'on n'a pas A "avec" (nonA) = paradis. (Et heureusement, avoir un pass qui t'autorise à choisir enrte A et nonA ça n'a rien d'un pass qui t'autorise à avoir un exemplaire de chque).

De plus, pour ne rien arranger, le "non" (le signe orthogonal) de la log linéaire n'est pas le "non" habituel, ie n'est pas le non(A):=(A=>tout). Je n'ai d'ailleurs pas souvent réfléchi à comment se comporte $X\mapsto (X\to tout)$ (en fait même je n'y ai jamais réfléchi) en LL .

Toujours est-il que l'équivalence à laquelle tu penses, à savoir le "A=>A" retraduit (en langage linéaire en $A^\perp \ par \ A$ ) dont il découle aussi linéairement l'équivalence $((A^\perp)^\perp \to A)$ avec l'énoncé $A^\perp \ par \ A$ ne traduit pas sincèrement "le sentiment" qu'ont les gens qui ressentent le droit à l'outil bien que puissant $((nonA)=>B)=>(A\ ou $, juste avant de s'apprêter à produire un RPA (dans des textes classiques) mais juste après avoir intuitionné un truc via une inspection par cas. En effet, je crois qu'à ce moment-là, c'est profondément à un $A\to tout$ qu'ils pensent pour $non(A)$ plutôt qu'à un $A^\perp$.

On pourrait dire la même chose dans l'autre sens: ne revendiquent-ils pas un $A\oplus (non(A))$ plutôt qu'un $A\ par \ (non(A))$ par exemple quand, se préférant "constructivistes" ils s'émeuvent du platonicisme des despotes qui affirment $A\ ou non(A)$.

Bref... Je pense que ta question n'a plus de naturalité dès lors qu'on se doit d'hésiter sur un forum entre "ou:=par" et "ou$:=\oplus$". Donc oui, "banalement", la traduction syntaxique de $A\to B$ en $A^\perp \ par \ B$ rend quasi identiques les énoncés qui t'intéressent, mais à condition de faire la traduction $ou:=par$ et $non:=(x\mapsto x^\perp)$. Et j'ai envie de dire "et encore": à condition d'accepter le cinéma d'auteur qui a décrété que $(x^\perp)^\perp = x$, chose qui même "linéairement" est assez discutable (n'importe quel banachiste pourrait en témoigner).

Pour les visiteurs occasionnels qui ont envie de fumer la moquette, j'essaie de rappeler très succinctement, comment se comportent les logiques plus faibles que la logique intuitionniste et dont on parle souvent ces dernières décennies:

On considère (disons) que l'ensemble des phrases $P$ est muni d'un ordre partiel $\leq$ et de 5 opérations (c'est redondant) binaires $\to , \cap ; \oplus; \otimes; par$ et d'une opération unaire jouant un peu le rôle du "non" (vu de loin), avec comme tradition de noter plutôt $x^\perp$ que $non(x)$. Attention, j'ai mis $\cap$ pour "orienter l'intuition" et surtout parce que je n'ai pas les latex des symboles officiels.

On a les axiomes (que l'intuition doit percevoir comme "en dur"): $\forall a,b: (a \oplus b)^\perp = a^\perp \cap b^\perp $ et $(a^\perp)^\perp =a$ et $(a\ par \ b) = a^\perp \to b$ et $a\otimes b = (a\to (b^\perp))^\perp$.

Cette structure ressemble vaguement un peu à un anneau, ie $\forall a,b,c: a\otimes (b\oplus c) = (a\otimes b)\oplus (a\otimes c)$. Ce n'est pas un décret, c'est l'évidence que $A\to (\cap_i X_i) = \cap_i (A\to X_i)$ quand on interprête $X\to Y$ comme l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$.

$\oplus, \ par , \cap , \otimes$ sont commutatives et associatives (remarque: il y a des dualités qui font qu'on pourrait se contenter de prendre $\to , .^\perp $ et $\cap$ comme notions premières et définir les autres).

Maintenant l'intuition:

1/ $a\otimes b$ représente un porte-monnaie qui contient un billet de $a$ et un billet de $b$

2/ $a\cap b$ représente un porte-monnaie qui contient une carte que l'on peut utiliser comme un billet de $a$, ou comme un billet de $b$ au choix (on retrouve l'évidence que $A\to (\cap_i X_i) = \cap_i (A\to X_i)$)

3/ Le passage de $x$ à $x^\perp$ représente l'échange entre les partis: le vendeur devient l'acheteur et l'acheteur le vendeur

4/ L'utilisation de l'ordre partiel $x\leq y$ représente le fait que $x$ peut prendre le visage de $y$. Remarque, ça n'a pas tellement d'instances sur le marché monétaire, par contre, on rencontre des tas d'instances dans les produits "de droit": par exemple une carte navigo est $\leq$ à n'importe quel billet de métro, mais rien qu'à lesdits billets de métro, ie $navigo=$ borne inférieure selon l'ordre $\leq$ de l'ensemble des produits tensoriels de billets de métro (bon, c'est un peu une métaphore car les navigo ne sont valables que pour une période donnée). Autre exemple, sur le marché, un ticket restaurant de 12euros est $\leq$ à beaucoup de sortes de déjeuners

5/ Il en découle de manière intuitive la suite des définitions que doit avoir la structure $(P,\leq, \cap, \oplus, \otimes, \ par , (.)^\perp)$ pour être ce qu'on attend d'elle (je ne liste pas tout, d'ailleurs, j'en oublierais peut-être). Entre autre, il doit y avoir compatibilité entre $\to $ et $\leq$, ie $(a'\to b')$ doit être $\leq (a\to b)$ quand $a\leq a'$ et $b'\leq b$, etc, par exemple que $x\mapsto x^\perp$ est une involution décroissante, etc (par exemple $a\cap a=a$, etc)

6/ Si on admet les ordinaux et la propriété de la borne inférieure (et donc supérieure), on peut aussi définir naturellement un truc qui s'appelle $!a$ et qui est := la borne inf des $u_i$ où la séquence ordinal $i\mapsto u_i$ est défini par $u_i:=a$ et $u_{i+1}:=u_i\otimes u_i$ et $u_k:=$ la borne inf des $u_i,i<k$ quand $k$ est limite (elle finit par stabiliser à partir d'un certain ordinal).

Cher Zo!,

Ta réponse me laisse penser que tu n'as pas compris la question. Je la repose : je ne suis pas habitué à ce que le mot "raisonnement" dénote des théorèmes, ni même des règles de déduction, mais plutôt à un certain type d'argumentation destiné à convaincre. Il n'y a d'ailleurs qu'en mathématiques que tous les raisonnements sont hypothético-déductifs, dans les autres sciences il y a aussi des raisonnement inductifs, et dans des disciplines non scientifiques encore d'autre types de raisonnements. Je te demandais des références (sérieuses) où ce mot est utilisé dans le sens de théorème (ou de règle de déduction) comme Christophe et toi (et sûrement plein d'autres gens très respectables) le faites.

Je t'assure (même si tu ne veux pas me croire) que je n'ai aucun problème à saisir la différence entre les énoncés "non(non(A))=>A" et "A=>non(non(A))", cela n'a vraiment rien à voir avec l'objet de cette première question. Par contre, pour la différence entre les énoncés "A ou non(A)" et "non(non(A))=>A", qui est apparemment une des raisons qui poussent Christophe à appeler "raisonnement" ce que j'appelle "axiome", je veux bien un complément d'explication.

cc a écrit:

(non(non(A))=>A) =>(A ou non(A)) par exemple n'est même pas un théorème intuitionniste, mais j'ai l'impression que ça, tu le sais

Même pas ! :-)

Je comprends mieux maintenant la nécessité de deux appellations différentes. Je vais essayer de réfléchir à pourquoi j'ai pensé que c'était vrai (j'y croyais dur comme fer), et aussi à pourquoi c'est faux.

Edit : j'ai bien compris pourquoi c'est faux. Eh bien ce fil aura au moins eu le mérite de me faire prendre conscience que je croyais dur comme fer à une bêtise.

Zo! a écrit:

Moi, j'en viens à penser que tu n'as pas compris ma réponse.

C'est pas clair, en effet.

Pour être bien clair : un raisonnement consistant à montrer (non B => non A) en montrant plutôt (A => -- donc un raisonnement qui utilise le théorème (A => => (non B => non A) -- mérite-t-il de s'appeler "raisonnement par contraposition" ou pas ?

Zo! a écrit:

Ecoute, je ne parle pas de raisonnement par contraposition, pourquoi me poses-tu une question là-dessus ? [...] J'abandonne, je ne vois pas comment faire mieux.

Parce que je ne comprends pas ce que tu écris (j'essaie vraiment, mais je n'y arrive pas) et que j'essaie de comprendre en m'aidant d'une analogie. Tant pis.

Je ne comprends pas pourquoi tu ne réponds pas à ma question. Je n'essaie pas de te "piéger", et il me semble avoir fait preuve de bonne foi sur ce fil. J'y ai indiqué clairement ce qu'on m'avait appris, tout aussi clairement ce que je croyais être vrai (et qui était grossièrement faux), et j'ai tout aussi clairement reconnu ma stupidité pour cette bêtise et la nécessité d'une terminologie spécifique pour un axiome plus faible que le tiers exclus. Il me semble avoir suffisamment fait preuve que je n'essayais pas de "marquer des points" mais juste de comprendre votre position. Tu dis que tu ne vois pas comment faire mieux pour m'y aider : tu pourrais commencer par répondre à ma question. Mais rien ne t'y oblige évidemment. Peut-être que Christophe le fera (mais avez-vous exactement le même point de vue ?).

PS : J'avais bien compris ton exemple de modèle qui infirme l'implication. Quand je ne comprends pas, je demande .

Ce que je dis sur cet exemple c'est que "être irrationnel" est une négation, au niveau même du langage : par définition, est irrationnel un nombre réel qui n'est pas rationnel. On démontre cette négation "il n'est pas rationnel" en supposant "il est rationnel" et en arrivant à une absurdité.
Ca me paraît illustrer clairement la notion d'apogogie négative, non ?
Ce distinguo suppose effectivement une différence entre un énoncé et la négation de sa négation. Si tout énoncé est vu comme la négation de sa négation, la différence entre apogogie positive et apogogie négative s'écroule. Mais justement, au niveau du langage, "être rationnel" ne me semble pas ressenti comme "ne pas être irrationnel".

Bonne nuit !

Non A serait la contraposée !? Si tu pouvais éviter de te ridiculiser ainsi dlzlogic... Ouvre si tu veux un fil pour demander en termes simples ce qu'est une contraposée et ce qu'est un raisonnement pas l'absurde.

Bon j'ai trouvé le début de l'histoire sur wikipedia. Ça va me suffire dans l'immédiat, mais si vous avez un joli document concis n'hésitez pas !

@dlzlogic : Ici les gens rentrent dans des détails (que je ne maîtrises d'ailleurs pas) mais tes interventions montrent que tu ne connais pas la version simple et naïve de tout cela. Je me répète donc : tu devrais ouvrir un fil séparé si tu veux une présentation simple et naïve sur ce sujet. Tu pourras ensuite mieux profiter de cette discussion.

Samok, tu viens de redonner un bel exemple d'apagogie négative

@dlzlogic : je réitère une nouvelle fois mon conseil et je le précise un peu. Si tu t'intéresses vraiment à la question, tu devrais je pense ouvrir un fil sur le thème : "présentation simple et naïve du raisonnement par l'absurde et par contraposition pour quelqu'un qui ne connaît rien au sujet". Je te le redis, la discussion tourne ici sur un thème du style "présentation précise du raisonnement par l'absurde et par contraposition pour quelqu'un qui connaît déjà parfaitement bien la présentation simple et naïve". Grandis un peu...

Tiens ! Il est rigolo votre jeu sieur Zo!

Le rapport c'est $A\rightarrow B$.

C'est vachement bien agencé tout ça, et cela me donne même une interprétation totalement hors contexte de la logique (en tant que grammaire des formules mathématiques) des symboles $\neg$ et $\rightarrow$. Merci.

S

Samok : mauvaise réponse. Je précise la question, vu que tu réponds à côté : y en a-t-il un contenu dans l'autre ? Sont-ils égaux ?

Tu devrais utiliser l'aperçu avant de poster, et parenthéser pour qu'il n'y ait pas ambigüité dans tes écritures. Pour le moment (14:57), c'est incompréhensible.

NM a écrit:

Peut-être que Christophe le fera (mais avez-vous exactement le même point de vue ?).

J'arrive un peu tard, mais Zo! a répondu. Personnellement je ne connais pas le mot "apagogique" donc de toute façon, je ne peux pas commenter.

J'en reviens à ces histoires de "démonstrations par l'absurde", "démonstration par contraposée". Autant on t'a je crois détaillé nos points de vue sur le premier, autant, j'ai l'impression que tous ces mots inventés comme "par contraposée", etc qu'on met après le mot "démonstration", sont de créations vaguement pédagogique et retourneront bien vite là d'où ils ont sorti.

Une preuve c'est soit (ce sont des objets essentiellement équivalents) un arbre, soit une stratégie gagnante dans les jeux de type "prouveur-sceptique" (qui ne sont rien d'autre qu'une présentation qui permet de rendre le calcul des séquents vivant au béotien, je ne les ai inventés que pour ça), soit une suite de phrases (et il y a des posts où j'ai déjà défini comment on extrait les axiomes d'une suite de phrases).

Dans l'enseignement "malheureusement", les preuves sont des textes (ie des suites de phrases), et la structure d'arbres est moins usitée. C'est lié au fait qu'on disposait de tratement de texte bien avant des logiciel dessinateurs d'arbres.

N'importe quelle suite de phrases (éventuellement srtucturée) est une preuve irréfutable de quelque chose et l'extraction de ce quelque chose est trivial, automatisable, et acessible à un QI de 50. Du coup donner des noms aux différentes façons de ponctuer et rédiger des preuves un poil plus riche dans des copies de L1 ou de TS, je ne sais pas si c'est bien malin.

voili voilou.

@samok (j'espère aussi t'avoir répondu sur "la morale"), dans ta conversation avec Zo! sur les espaces topologiques, j'ai lu en diagonale, je ne sais pas si Zo! a redonné les définitions, donc peut-être fais-je une répétition:

Soit $E$ un espace topologique et $T$ l'ensemble de ses ouverts.

1/ On appelle $U\to V$ la réunion des ouverts $X$ tels que $U\cap X\subseteq V$
2/ On ré-appelle $U\ et\ V:=U\cap V$
3/ On ré-appelle $U\ ou\ V:=U \cup V$
4/ On ré-appelle $\forall i: U_i$ l'intérieur de l'intersection des $U_i$
5/ On ré-appelle $non(U):=$ l'intérieur de complémentaire de $U$

Avec ça, les ouverts deviennent des phrases et tu peux jouer avec. Appelle, si tu veux la $(E,T)$-logique l'ensemble des expressions qui, quelles que soient les valeurs (des ouverts) qu'on attribue aux lettres, vont être, par ces affectations, envoyées sur $E$ tout entier. Exemple $A\to A=E$

L'intersection des $(E,T)$-logique quand $(E,T)$ parcourt tous les espaces topologiques est appelée la logique intuitionniste.

(Ca peut répondre aussi à NM, mais tu as dit (NM) que tu avais réalisé (tard, certes, mais "ça y est") concernant la différence entre $non(non(A))$=>A et (A ou non(A))

Dlzlogic,
on se passerait largement de tes commentaires impertinents à tout point de vue !

Je passe sur ta manière agressive de t'adresser aux gens (ce qui explique pourquoi tu en reçois en retour...)

Tu n'as aucune qualification en mathématiques, et en logique tout particulièrement : depuis le début de cette discussion, comment peux-tu penser donner des conseils à une personne comme Elie qui prépare le CAPES de mathématiques ? C'est Elie qui pourrait de donner des cours !

Dans toutes les discussion dans lesquelles tu interviens, tu n'arrêtes pas d'écrire soit des évidences (que tu penses utiles de rappeler en croyant apprendre quelque chose aux gens) ou soit des bêtises (des contre-sens mathématiques, des hors sujet, etc). Alors tes points du vue sur la bonne conduite des discussions sur un forum maths...
Ton métier, c'est géomètre. Est-ce qu'un intervenant sur un forum de math a déjà essayé de te faire croire qu'il pouvait t'apprendre ton métier ? Je ne pense pas... Alors, comment peux-tu penser que tu peux apprendre aux mathématiciens comment pratiquer les mathématiques ?





Dans cette discussion, comme dans beaucoup d'autres sur le même sujet, on constate clairement l'ambivalence de l'expression "raisonnement par l'absurde".
- Pour la plupart des gens qui n'ont pas étudié la question, un raisonnement par l'absurde est un raisonnement qui aboutit simplement à une contraction. Exemples évoqués ci-dessus : racine(2) est irrationnel, ABC est un triangle scalène, n² pair => n pair.
- En logique (discipline mathématique, qu'il n'en déplaise à certaines personnes...), le raisonnement par l'absurde est un raisonnement qui utilise l'implication non(non(A)) => A pour tout A (et à plus fort raison le principe du tiers exclu " pour tout A, A ou non A ").

A mon avis, il faut savoir que très jeune, tout le monde a dû apprendre à utiliser le principe du tiers exclu, imposé comme une évidence (par exemple dans les tables de vérité "V ou F" ). Du coup, il devient délicat de faire des retour en arrière pour comprendre certaines subtilités logiques.

En fait, les exemples cités ( racine(2) est irrationnel, ABC est un triangle scalène, n² pair => n pair ) ne sont pas des raisonnements qui utilisent le tiers exclu, ou même non(non(A)) => A.

En effet, " racine(2) est irrationnel " signifie (par définition !) " racine(2) n'est pas rationnel " : c'est une phrase négative, de la forme non(A) ou A est " racine(2) est rationnel " . Donc le raisonnement qui consiste à écrire << On suppose "racine(2) est rationnel", donc ... , donc absurdité. >> est, en logique mathématique, une preuve directe de l'irrationalité de racine(2) !

Idem pour ABC scalène : on démontre que ABC n'est pas isocèle et n'est pas rectangle : on prouve des phrases négatives de manière directe !

En fait, et c'est expliqué tout au long de cette discussion, il existe deux types de "raisonnement par l'absurde" (que les gens lambda confondent) :
- ceux du type "A => faux, donc A est faux" (cf racine(2) est irrationnel et ABC scalène ) qui ne sont pas réellement des raisonnements par l'absurde, mais des preuves directes d'une impossibilité ;
- ceux du type "non(A) est faux donc A est vrai", avec le "donc" justifié par principe du tiers exclu.

Ce n'est pas évident à comprendre, il faut en particulier bien sentir ce qu'est une phrase "négative". Cela revient à connaître parfaitement les définitions et ne demande aucune impression. C'est difficile quand on n'y a pas habitué...

Idem pour la contraposée, il en existe deux (liées aux mêmes subtilités que le raisonnement par l'absurde) :
- la contraposée de A => B est non(B) => non(A) : celle-ci ne demande aucun tiers exclu. En effet, non(A) signifie "A => faux" , donc il est clair que si A => B alors (B => faux) => (A => faux) ;
- la contraposée de non(A) => non(B) est A => B : celle-ci utilise l'axiome de la logique non(non(A)) => A.

J'en arrive au dernier exemple. Pour n² pair => n pair : on dit << si n impair alors n² impair. Or n² pair donc n pair >>.
Ci-dessus, une personne disait qu'on utilise un tiers exclu dans la conclusion. C'est incorrect.
Il faut savoir qu'il est prouvé sans tiers exclu (c'est important), que tout entier est soit pair, soit impair. Donc la négation de "n impair" est bien "n pair". Ainsi n impair => n² impair se "contrapose sans tiers exclu" en n² pair => n pair .




Normalement, tout prof de math devrait avoir connaissance de l'existence de ces subtilités (et c'est malheureusement loin d'être le cas), sans en être spécialiste, comme H et moi par exemple. Donc la question d'Elie était tout à fait importante en vue d'une préparation au CAPES (surtout pour la leçon à l'oral), et une réponse imposait détails et minutie.

@Leon: Je n'avais pas conscience de ces subtilités, c'est très intéressant. Ceci dit, je me vois mal les enseigner à mes étudiants, qui ont déjà bien du mal à écrire un raisonnement correct.

Pour ma culture personnelle, pourrais-tu définir précisément ce qu'est une phrase négative ? Est-ce un assemblage logique où apparaît $\neg$ ??

GreginGre écrivait:

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> Pour ma culture personnelle, pourrais-tu définir précisément ce qu'est une phrase négative ?
> Est-ce un assemblage logique où apparaît $\neg$ ??

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Ben, je ne suis pas logicien (loin de là), et du coup je peux et je vais être très imprécis dans ce que je dis.

Dans une première approximation, je repondrais vaguement que, oui, c'est un assemblage logique dont on prend la négation. Mais je ne vais pas me lancer dans une vraie définition d'une phrase positive/négative (à mon niveau, c'est davantage dans le feeling... ok, c'est pas rigoureux). Cela me paraît être assez tordu (car pas clair pour moi !) de savoir si telle phrase est négative ou positive... Par exemple, sans symbole, si je dis : dans un anneau, tel ideal J est propre. On remarque qu'il n'y a pas de négation, donc on peut dire c'est une phrase positive. Oui, mais que signifie "idéal propre" ?

--- 1ère def : un idéal est propre s'il ne contient pas 1. Là, on voit apparaître une négation, et donc, pour démontrer (de manière directe) qu'un idéal J est propre, on pourra supposer $1 \in J$ puis aboutir à une contradiction . C'est donc bien un "faux" raisonnement par l'absurde car on n'utilise pas non(non(A)) => A .

--- 2ème def : un idéal est propre s'il est inclus dans un idéal maximal (dont il faut aussi préciser la définition évidemment...). Là, il n'apparaît toujours pas de négation et pour démontrer (par l'absurde) qu'un idéal J est propre, on pourra supposer que J n'est pas propre, donc que J n'est inclus dans aucun idéal maximal, puis aboutir à une contradiction. C'est un "vrai" raisonnement par l'absurde qui utilise non(non(A)) => A pour conclure l'existence d'un idéal maximal contenant J.

En fait, on peut imaginer une preuve (sans absurde) utilisant la 2ème def. J'ai un idéal $J = < j_1, ...,j_n >$, je l'étudie, et je montre que tel idéal $M = < m_1, ..., m_k >$ est maximal et contient J (en donnant l'expression des $j_i$ en fonction des $m_i$) . Une telle preuve n'est pas un raisonnement par l'absurde, mais belle et bien une preuve "directe".
On voit d'ailleurs qu'elle est beaucoup plus précise que le raisonnement par l'absurde qui utilise non(non(A)) => A, puisqu'on tient réellement un idéal maximal contenant J.



Un petit document sur le vocabulaire "réduction à l'absurde et détour par l'absurde" http://www.univ-paris-diderot.fr/philomathique/Proute21-05-08.pdf
mais qui ne répond pas à la question "qu'est-ce qu'une phrase négative ?"