coercivité Lax-Milgram

Bonjour,

$\kappa, \lambda > 0$.

On a aussi la relation $\frac{\partial u}{\partial n} + \lambda u = g$.

Soit $\kappa, \lambda > 0$. Soit $\Omega$ est le disque unité et $\Sigma$ son bord.
Il s'agit de trouver $u\in H^1(\Omega)$ tel que

\[ - \Delta u -\kappa^2 u = 0 \quad \text{dans} \quad \Omega \]

Avec la condition au bord, $\frac{\partial u}{\partial n} + \lambda u = g$.
Cette équation est du type Helmholtz.

En passant à la formulation variationnelle, on trouve $a(u,v) = l(v)$

\[ a(u,v) = \int_{\Omega} \nabla u \nabla v - \kappa^2 u v + \lambda \int_{\Sigma} u v\]

et \[l(v) = \int_{\Sigma} g v dx \]

Pour prouver l'existence et l'unicité de la solution, on cherche à appliquer le théorème de Lax-milgram.
On s'intéresse en premier lieu à la coercivité qui semble etre le point délicat, donc à:

\[ a(u,u) = \int_{\Omega} (\nabla u)^2 - \kappa^2 u^2 + \lambda \int_{\Sigma} u^2 \]

C'est exactement ce que j'ai fait et je ne vois pas de problème de signe ni dans l'équation ni dans la formulation variationnelle. Ceci dit, je suis d’accord qu'avec $+ \kappa^2$, la coercivité devient évidente.

Non.

Alors quel outil utilise-t'on pour montrer l'existence et l'unicté de la solution?

Si on peut fixer $\lambda>0$ de manière arbitraire, est-ce que l'on récupère la coercivité?