rotation

Bonsoir

En dimension 2 ou 3 comment reconnaitre une matrice de rotation et de symétrie? d'autre part comment trouver l'ensemble des points invariants pour ces 2 matrices?

Réponses

  • Bonsoir,
    Pour les invariants si tu sais résoudre une équation linéaire dans $\mathbb{R}^2$ et dans $\mathbb{R}^3$ peux-tu préciser ton problème.
    En ce qui concerne les rotations ce sont des isométries directes et donc...
    Pour les symétries je ne sais pas, il y en a tellement.
  • Une symétrie orthogonale : $s^2=\mathrm{Id}$ et $s=s^*$.
  • Pour la rotation,
    si j'ai une matrice de rotation, comment connaitre l'angle?

    Au passage pour qu'une matrice soit une matrice de symétrique il faut bien que son déterminant soit -1 et sa tranposée son inverse
  • "Comment connaitre l'angle?" et d'abord qu'est-ce qu'un angle?
    Connaissant un vecteur non nul et son image tu auras facilement le cosinus de l'angle et son sinus, encore qu'un signe sournois pourrait s'immiscer.
    Par contre ton opinion sur la symétrie ne me convainc pas, je l'avoue.
  • Est-ce que $\begin{pmatrix}-1\\&-1\\&&1\end{pmatrix}$ ne serait pas la matrice d'une symétrie de déterminant $1$ ?
  • Bonsoir,

    C'est une rotation de $\pi$ autour de $\overrightarrow{k}(0;0;1)$.
    Quand on parle de symétrie (orthogonale ici je suppose puisqu'on parle d'isométrie), il faudrait quand même préciser la dimension de l'axe (c'est à dire le sous espace invariant).

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonne question. Si $E$ est euclidien orienté et si $u\in E$ (non nul) notons $\varphi_u(x)=u\wedge x$ ainsi que $\theta=\|u\|.$ Alors $a=\exp \varphi_u$ est une rotation dans $E$ (endomorphisme orthogonal de déterminant 1) d'axe $u$ et d'angle $\theta$ (en interprétant correctement le mot angle en orientant le plan orthogonal à $u.)$ Toute rotation est de ce type. Le point important est que $u$ peut être en grande partie facilement récupéré à partir de $a.$ Plus précisément, si $E=\mathbb{R}^3$ et si $u=(a,b,c)$ et si $A$ est la matrice représentative de $a$ alors $$ A-A^T=\frac{2\sin \theta}{\theta}\left[\begin{array}{rrr}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{array}\right].$$ Cela te donne l'axe de rotation et le sinus de l'angle au signe près. Tout cela est très utile quand $\theta$ est petit, cad quand la rotation est proche de l'identité.
  • Bonjour.
    La trace d'une matrice de rotation de $\mathbb{R}^3$ est $1+2\cos t$, où $t$ est l'angle de rotation.
    Cordialement.
  • Bonjour,

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,291234,291234#msg-291234 peut vous intéresser.
    En particulier, le message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,291234,291486#msg-291486 de bs résume la méthode.
    J'ai eu à m'en servir récemment (merci aux intervenants du fil que je mentionne d'ailleurs, et à cette page wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Rotation_vectorielle ), avec scilab, et cela se passe très bien.
  • quelles sont les conditions pour qu'une matrice représente une symétrie
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