ellipsoïde

Soient les équations paramétriques d'une surface $\Sigma$ : $x=f(t,u), y=g(t,u), z=h(t,u)$, $(t,u)\in D\subset \R^{2}$.
Soit $\Phi (t,u)=(f(t,u),g(t,u),h(t,u))\in \R^{3}$. L'aire de cette surface $\Sigma$ est : $S=\iint_{D}\left\| \frac{\partial \Phi }{\partial t}\wedge \frac{\partial \Phi }{\partial u}\right\| dtdu$.

En particulier, si la surface $\Sigma$ est définie par une équation : $z=h(x,y)$, $(x,y)\in D\subset \R^{2}$, l'aire est : $S=\iint_{D}\sqrt{1+(\frac{\partial h}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial h}{\partial y})^{2}}dxdy$.

L'équation d'un ellipsoïde est : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$, $a>0,b>0,c>0$.
L'équation du demi-ellipsoïde supérieur est : $z=c\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}$, $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq 1$.
Soit $h(x,y)=c\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}$, $(x,y) \in D$, $D=\{(x,y)\in \R^{2}|\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq 1\}$.
Etc ...

Concernant l'ellipsoïde de révolution, on a deux formules exactes différentes, avec les fonctions usuelles, selon que l'ellipsoïde est allongé ou aplati.