Cercle et droite

Bonsoir,

pappus dirait certainement que les cercles passant par les points donnés constituent un faisceau qui, par ses intersection avec la droite donnée, détermine une involution de cette dernière.
Le problème est donc de construire les points fixes de cette involution pour obtenir le point de contact du cercle avec la droite.
L'involution admet en général deux points fixes, il y a donc en général deux cercles solutions.

Pour la construction pratique : on trace la droite (AB) passant par les points donnés.
Si la droite (AB) est parallèle à la droite (d) donnée, le problème a une solution unique : le cercle tangent à (d) au point d'intersection de (d) et de la médiatrice du segment [AB].
Si la droite (AB) est sécante à la droite (d) au point C, le problème a deux solutions : on trace un cercle quelconque passant par A et B, puis on détermine les contacts T et T' des tangentes menées de C à ce cercle ; le cercle de centre C passant par T et T' recoupe (d) en M et M' qui sont les points de contact avec (d) des deux cercles à construire.

Mon cher Jer anonyme
On peut l'interpréter ainsi mais cela n'apporte rien à la façon d'exécuter la construction elle même.
Il faut plutôt la voir comme application de la théorie de la puissance d'un point par rapport à un cercle.
Une fois cette construction apprise, on peut effectivement l'appliquer à la construction de l'intersection d'une parabole et d'une droite.
On peut donc trouver cette construction en bonne place dans tous les livres de Terminales d'autrefois, par exemple dans le Lebossé-Hémery!
Voici l'idée :
Appelons $A$ et $B$ les points en question et $L$ la droite.
On suppose que la droite $L$ et la droite $AB$ se coupent en un point $I$, (car le cas où $L$ et $AB$ sont des droites parallèles est trivial à résoudre).
On considère le faisceau $\mathcal F$des cercles passant par $A$ et $B$.
Soit $\Gamma \in \mathcal F$ un cercle du faisceau coupant la droite $L$ en deux points $P$ et $Q$.
On a alors $\overline{IA}.\overline{IB}=\overline{IP}.\overline{IQ}=p$ où $p$ est la puissance de $I$ par rapport à $\Gamma$.
Si $P=Q$, alors le cercle $\Gamma$ sera tangent à la droite $L$ au point $P=Q$. Pour que cela soit possible, il est donc nécessaire que $p>0$ c'est à dire que $I$ soit à l'extérieur du segment $AB$.
Si cette condition est remplie, on va voir qu'elle est aussi suffisante.
On trace donc un cercle $\Gamma$ quelconque passant par les points $A$ et $B$.
On trace les tangentes issues de $I$ au cercle $\Gamma$ ainsi que leurs points de contact., puis on trace le cercle $\gamma$ de centre $I$ passant par les points de contact, il est donc orthogonal au cercle $\Gamma$. Le cercle $\gamma$ coupe la droite $L$ aux points $T$ et $T'$.
Les cercles circonscrits aux triangles $ABT$ et $ABT'$ sont les deux cercles du faisceau $\mathcal F$ tangents à la droite $L$ aux points $T$ et $T'$.
Amicalement
Pappus
PS
Pour chercher l'intersection d'une droite $D$ avec la parabole de foyer $F$ et de directrice $L$, on trace le symétrique $F'$ de $F$ par rapport à $D$ et on est ramené à construire les deux cercles passant par $F$ et $F'$, tangents à la directrice $L$.
Les centres de ces deux cercles tangents sont les points d'intersection cherchés.
Merci gb, si j'avais su, je serais allé me coucher plus tôt!
Bonne nuit à toi aussi

http://postimg.org/image/si3982j45/]

Je remercie Soland pour sa belle construction!
Et puis je me suis dit, comment ai-je pu louper cela?
Pourtant elle me laissait un air de déjà vu et effectivement je l'avais déjà rencontrée sous une autre forme:
Construire les cercles passant par un point $p$ et tangents à deux droites données $T$ et $T'$ se coupant en un point $o$.
Application:
Une droite variable passant par $p$ coupe $T$ en $m$ et $T'$ en $m'$.
Minimiser les périmètres des triangles $omm'$.
Amicalement
Pappus

Bonsoir,

Je me souviens que j'ai effectivement appris les divisions harmoniques en 1ère (66-67) ainsi que le fait que les racines d'une équation du second degré dont les coefficients étaient des fonctions affines d'un paramètre étaient conjuguées harmoniques de deux valeurs fixes.

Cordialement,

Rescassol

Mon cher soland
Oui, c'est cela!
Et mon problème de minimum?
Amicalement
Pappus

La question initiale : << Savez vous si le problème suivant a été traité dans la littérature >> est d'une naïveté désarmante. Après des siècles de géométrie abordant toutes les finesses de la construction à la règle et au compas, il aurait été bien incroyable qu'il n'ait pas été traité.
J'ai remis enfin la main sur mon Lebossé-Hémery de Seconde (Fernand Nathan, 1947), où ce problème est traité sans faisceaux de cercles sans homographie sans involution sans coniques sans divisions harmoniques, toutes choses bien intéressantes, mais bien superflues ici. Ce manuel donne deux solutions, l'une fondée sur l'homothétie et l'autre sur les "relations métriques dans le cercle" - pour ne pas appeler par son nom la puissance d'un point par rapport à un cercle, terminologie qui sera réservée aux Grands de Math-Elem. Qu'on me dise comment insérer des images et je vous en enverrai la reproduction.

@Rouletabille

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Rajouter le texte prévu AVANT l'adresse importée.

Il y a sûrement moyen de bidouiller qqchose de mieux dans (5) et dans (8)

Y en a qui font autrement.
Ça prend moins de 30" en général

Cordialement

Bonjour,

ce que nous dit Pappus sur le niveau des agrégés en géométrie élémentaire et le niveau des secondes des années 60 est bien inquiétant.

Faut-il supprimer l'agrégation comme on a supprimé le certificat d'études primaires ?

bien cordialement

kolotoko

J'ai cité juste UNE référence, parce que j'aime bien la collection Lebossé-Hémery, mais je suis certain que ces références abondent, pour un problème aussi simple. Je suis certain que n'importe quel traité de la même époque donnera des solutions.
Ce Lebossé-Hémery de Géométrie de Seconde contenait pas mal de choses, mais tout de même pas autant, ni "presque (?)" autant que celui de Terminale, 286 pages contre 486.
Ces solutions sont spécifiques, elles ne consistent pas à "faire de la géométrie projective et de la géométrie circulaire sans le savoir".
Je comprends la tristesse de Pappus devant tout ce contenu que notre enseignement a abandonné. Qu'il en recherche les causes, et qu'il contribue à oeuvrer pour changer cela.
Nos agrégés d'aujourd'hui savent peut-être moins de géométrie élémentaire, mais ils savent certainement bien d'autres choses.

Alors là je suis bien d'accord. Avant 1968, on faisait de la géométrie élémentaire dans tout l'enseignement secondaire, c'était une initiation au raisonnement logique. Voir par exemple le Lebossé-Hémery de Quatrième. Ensuite, en Math-Sup, on pouvait prendre les choses à l'envers et tout redémontrer à partir de la structure d'espace vectoriel. Les élèves avaient déjà en tête les images, les figures.

Avec les dites "Math-Modernes", on a cru malin de se passer de cet "échafaudage préalable" et passer directement à l'Algèbre linéaire, ce qui était une grave erreur pédagogique car les élèves ne voyaient plus rien.

Il faudra remettre tout ça sur ses pattes, et restaurer un enseignement de la géométrie, de la Sixième à la Terminale, qui soit logiquement cohérent, avec une axiomatique raisonnable. Bien sûr en réservant cet enseignement à des élèves capables et désireux de le suivre, en restaurant aussi une dé-massification.

J'ai un peu cherché cet article mais je ne l'ai pas trouvé en ligne. Bonne chance...