Cercle et droite
Bonsoir
Savez vous si le problème suivant a été traité dans la littérature et quelles sont les références.
"Etant donné une droite du plan et deux points distincts situés dans le même demi-plan, comment construire à la règle et au compas, le cercle qui passe par les deux points et qui est tangent à la droite."
Savez vous si le problème suivant a été traité dans la littérature et quelles sont les références.
"Etant donné une droite du plan et deux points distincts situés dans le même demi-plan, comment construire à la règle et au compas, le cercle qui passe par les deux points et qui est tangent à la droite."
Réponses
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Il s'agit de construire l'intersection de deux paraboles admettant la droite donnée pour directrices et les points donnés pour foyer. Voici une solution qui, si d'aventure elle n'est pas fausse, devrait m'attirer (au moins) les foudres de Pappus.
On fixe un repère tel qui fait de la droite l'axe des abscisse et que l'un des points a pour coordonnées $(0,1)$ ; on note $(a,p)$ les coordonnées de l'autre point. Les paraboles correspondantes ont pour équations $y=\frac{x^2}2$ et $y=\frac{(x-a)^2}{2p}$. Il y a deux solutions, les abscisses des points d'intersection des paraboles sont, tous calculs faits : $\frac{a(1\pm\sqrt{p})}{p-1}$ (aux erreurs de calcul près). De là peut découler un programme de construction moche mais déterministe.
[Edit (15/4) : les équations des paraboles sont complètement fausses -- même si la méthode marche "en principe".] -
Bonsoir,
pappus dirait certainement que les cercles passant par les points donnés constituent un faisceau qui, par ses intersection avec la droite donnée, détermine une involution de cette dernière.
Le problème est donc de construire les points fixes de cette involution pour obtenir le point de contact du cercle avec la droite.
L'involution admet en général deux points fixes, il y a donc en général deux cercles solutions.
Pour la construction pratique : on trace la droite (AB) passant par les points donnés.
Si la droite (AB) est parallèle à la droite (d) donnée, le problème a une solution unique : le cercle tangent à (d) au point d'intersection de (d) et de la médiatrice du segment [AB].
Si la droite (AB) est sécante à la droite (d) au point C, le problème a deux solutions : on trace un cercle quelconque passant par A et B, puis on détermine les contacts T et T' des tangentes menées de C à ce cercle ; le cercle de centre C passant par T et T' recoupe (d) en M et M' qui sont les points de contact avec (d) des deux cercles à construire. -
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Mon cher Jer anonyme
On peut l'interpréter ainsi mais cela n'apporte rien à la façon d'exécuter la construction elle même.
Il faut plutôt la voir comme application de la théorie de la puissance d'un point par rapport à un cercle.
Une fois cette construction apprise, on peut effectivement l'appliquer à la construction de l'intersection d'une parabole et d'une droite.
On peut donc trouver cette construction en bonne place dans tous les livres de Terminales d'autrefois, par exemple dans le Lebossé-Hémery!
Voici l'idée :
Appelons $A$ et $B$ les points en question et $L$ la droite.
On suppose que la droite $L$ et la droite $AB$ se coupent en un point $I$, (car le cas où $L$ et $AB$ sont des droites parallèles est trivial à résoudre).
On considère le faisceau $\mathcal F$des cercles passant par $A$ et $B$.
Soit $\Gamma \in \mathcal F$ un cercle du faisceau coupant la droite $L$ en deux points $P$ et $Q$.
On a alors $\overline{IA}.\overline{IB}=\overline{IP}.\overline{IQ}=p$ où $p$ est la puissance de $I$ par rapport à $\Gamma$.
Si $P=Q$, alors le cercle $\Gamma$ sera tangent à la droite $L$ au point $P=Q$. Pour que cela soit possible, il est donc nécessaire que $p>0$ c'est à dire que $I$ soit à l'extérieur du segment $AB$.
Si cette condition est remplie, on va voir qu'elle est aussi suffisante.
On trace donc un cercle $\Gamma$ quelconque passant par les points $A$ et $B$.
On trace les tangentes issues de $I$ au cercle $\Gamma$ ainsi que leurs points de contact., puis on trace le cercle $\gamma$ de centre $I$ passant par les points de contact, il est donc orthogonal au cercle $\Gamma$. Le cercle $\gamma$ coupe la droite $L$ aux points $T$ et $T'$.
Les cercles circonscrits aux triangles $ABT$ et $ABT'$ sont les deux cercles du faisceau $\mathcal F$ tangents à la droite $L$ aux points $T$ et $T'$.
Amicalement
Pappus
PS
Pour chercher l'intersection d'une droite $D$ avec la parabole de foyer $F$ et de directrice $L$, on trace le symétrique $F'$ de $F$ par rapport à $D$ et on est ramené à construire les deux cercles passant par $F$ et $F'$, tangents à la directrice $L$.
Les centres de ces deux cercles tangents sont les points d'intersection cherchés.
Merci gb, si j'avais su, je serais allé me coucher plus tôt!
Bonne nuit à toi aussi -
Ah ! oui, on peut le voir comme un «jeu» de double orthogonalité. Le cercle de centre $I$ et contenant les points de contact des tangentes à $\Gamma$ est, en raison de cette tangence, orthogonal à $\Gamma$ et donc il appartient au faisceau à points limites $A$ et $B$. Autrement dit, il est orthogonal à tout cercle de $\mathcal{F}$. Parmi ceux-là, les deux cercles qui contiennent $T$ et $T'$ (que GB avait appelés $M$ et $M'$) ont donc pour tangente la droite orthogonale à la droite $(TT')$, qui est justement $L$. Je laisse l'interprétation par points fixes d'une homographie pour un jour prochain.
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Le prochain jour étant arrivé, recollons les morceaux. L'involution dans le message de GB est l'inversion de pôle $C$ (le $I$ de Pappus) et de rapport $\overline{CA}\,\overline{CB}$, qui est, dans le message de Pappus, la puissance de $C$ par rapport à n'importe quel cercle du faisceaux $\mathcal{F}$ à points bases $A$ et $B$.
Pour n'importe quel cercle de $\mathcal{F}$, elle permute donc les intersections de ce cercle avec la droite $(d)$ (ou $L$) ; inversement, si on prend un point quelconque $P$ de la droite, le cercle circonscrit à $ABP$ recoupe $(d)$ en l'image de $P$ par l'intersection. En particulier, les points fixes de cette inversion sont exactement les points pour lesquels le cercle $ABP$ est tangent. Je pense qu'à présent tout est clair -- sauf que GB ou Pappus pourrait bien venir remarquer que la division $(P,T,P',T')$ est harmonique ou quelque chose du genre et ça me demanderait encore des efforts à décrypter.
Pour l'importation de la figure (réalisée avec l'impie Geogebra), j'ai utilisé le site indiqué par Soland depuis quelques jours ou semaines, à savoir postimage.org (d'ailleurs je me suis trompé parmi les liens proposés).
Justement, Soland, merci pour cette méthode moins savante mais non moins élégante. -
Je remercie Soland pour sa belle construction!
Et puis je me suis dit, comment ai-je pu louper cela?
Pourtant elle me laissait un air de déjà vu et effectivement je l'avais déjà rencontrée sous une autre forme:
Construire les cercles passant par un point $p$ et tangents à deux droites données $T$ et $T'$ se coupant en un point $o$.
Application:
Une droite variable passant par $p$ coupe $T$ en $m$ et $T'$ en $m'$.
Minimiser les périmètres des triangles $omm'$.
Amicalement
Pappus -
Mon crédo :
Pour chaque problème, la solution la plus élémentaire possible pour être compris par un maximum de personnes. -
Merci beaucoup, je n'imaginais pas que ce problème attire si vite des solutions...
Le corollaire est : quelqu'un a t il une référence écrite (de préférence avec un ISBN)...
Merci d'avance (il faudra que j'essaie de trouver le Lebossé-Hémery...) -
Mon cher soland
Mon credo: donner le maximum de solutions possibles, de la plus simple à la plus compliquée.
Un exemple qui me vient à l'esprit et qui pourrait faire l'objet d'un autre fil: le fameux théorème de Pick.
Sais-tu qu'il existe une preuve utilisant les fonctions elliptiques?
Pour en revenir au problème de construction de Diego, je dirais qu'autrefois la solution de gb et la tienne étaient aussi simples l'une que l'autre, faisant seulement appel à des parties différentes du cours de géométrie. Aujourd'hui ne subsisterait sans doute que la tienne, si tant est que les homothéties soient encore enseignées. Et encore, je pense que les seules homothéties connues de nos taupins sont celles qui interviennent dans la définition d'un espace vectoriel.
Quant à la solution la plus élaborée, celle de gb, elle est la plus importante car elle se généralise facilement aux intersections des coniques d'un faisceau linéaire avec une droite, ces fameuses involutions dont il a parlé. Mais elle est tombée dans les poubelles de notre soi-disant enseignement depuis belle lurette!
A ce propos, je me souviens que dans le livre d'algèbre de Lebossé-Hémery de la classe de Première, dans le chapitre consacré à l'équation du second degré, on trouvait une foultitude d'exercices du style:
Soit l'équation du second degré $$(a+ \lambda a')x^2+(b+\lambda b')x + c+\lambda c'=0$$ (sous-entendu dépendant du paramètre $\lambda$) et de racines $x'$ et $x''$, montrer qu'il existe des constantes $A$, $B$, $C$, indépendantes de $\lambda$ telles que:
$$Ax'x''+B(x'+x'')+C=0$$.
C'est là qu'on voyait qu'il y avait une logique de continuité entre les programmes du secondaire et ceux du supérieur!
Une logique qui n'existe plus aujourd'hui
Amicalement
Pappus -
Bonsoir,
Je me souviens que j'ai effectivement appris les divisions harmoniques en 1ère (66-67) ainsi que le fait que les racines d'une équation du second degré dont les coefficients étaient des fonctions affines d'un paramètre étaient conjuguées harmoniques de deux valeurs fixes.
Cordialement,
Rescassol -
En transformant la droite donnée par la symétrie qui échange les points donnés, on retrouve le problème du cercle donné par un point et deux tangentes.
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Mon cher soland
Oui, c'est cela!
Et mon problème de minimum?
Amicalement
Pappus -
Voici en effet un livre où le théorème de Pick est évoqué et à moitié prouvé à l'aide des fonctions $\zeta$ et $\wp$ de Weierstrass (chapitre 12). L'un des auteurs est aussi le premier auteur de la preuve originale : Ricardo Diaz and Sinai Robins, Pick's formula via the Weierstrass P-function, American Mathematical Monthly, 102 431-437 (1995) ($12 chez JSTOR).
-
La question initiale : << Savez vous si le problème suivant a été traité dans la littérature >> est d'une naïveté désarmante. Après des siècles de géométrie abordant toutes les finesses de la construction à la règle et au compas, il aurait été bien incroyable qu'il n'ait pas été traité.
J'ai remis enfin la main sur mon Lebossé-Hémery de Seconde (Fernand Nathan, 1947), où ce problème est traité sans faisceaux de cercles sans homographie sans involution sans coniques sans divisions harmoniques, toutes choses bien intéressantes, mais bien superflues ici. Ce manuel donne deux solutions, l'une fondée sur l'homothétie et l'autre sur les "relations métriques dans le cercle" - pour ne pas appeler par son nom la puissance d'un point par rapport à un cercle, terminologie qui sera réservée aux Grands de Math-Elem. Qu'on me dise comment insérer des images et je vous en enverrai la reproduction. -
Mon cher Rouletabille
Effectivement, je possède le Lebossé-Hémery de Seconde et on y trouve et la solution de Soland et la solution de gb.
Bien sûr qu'ils ne parlent ni de faisceaux de cercles, ni de coniques ni d'homographies ni d'involutions, à quoi bon d'ailleurs.
Aussi nos élèves de Seconde faisaient-ils de la géométrie projective et de la géométrie circulaire sans le savoir!
Ce Lebossé-Hémery de la classe de Seconde est d'ailleurs très intéressant. Il est beaucoup moins épais que celui de Terminales et on y apprend presque autant de choses, la défunte théorie des coniques euclidiennes mise à part!
Ils savaient certainement plus de géométrie élémentaire qu'un candidat à l'agrégation d'aujourd'hui!
Amicalement
Pappus -
@Rouletabille
(0) Ouvrir un fil dans notre site
(1) aller sur le site "postimage.org" sans quitter le navigateur
(2) cliquer sur "Parcourir"
(3) choisir et cliquer sur "choisir"
(4) cliquer sur "Transférez", attendre un peu
(5) dans la colonne de droite, cliquer dans le 3e rectangle depuis le haut
(6) en cliquant sur les flèches de retour, revenir dans le fil (0)
(7) "commande coller" Une adresse apparaît
(8) Effacer ce qui précède "http" et ce qui suit "/png" (ou autre format)
Rajouter le texte prévu AVANT l'adresse importée.
Il y a sûrement moyen de bidouiller qqchose de mieux dans (5) et dans (8)
Y en a qui font autrement.
Ça prend moins de 30" en général
Cordialement -
Rouletabille écrivait:
> La question initiale : << Savez vous si le
> problème suivant a été traité dans la
> littérature >> est d'une naïveté désarmante.
>
Que l'on soit désarmé c'est bien humain. Que l'on se projette sur les autres est un autre problème. Je tiens quand même à signaler que tronquer les citations est une méthode qui certes a fait ses preuves mais qu'il est beaucoup plus difficile d'utiliser dans un forum.
La phrase était "Savez vous si le problème suivant a été traité dans la littérature et quelles sont les références"
Cela dit merci pour la référence de l’édition ( la page me serait utile au cas ou, si ce n'est pas abuser....) et franchement je n'aurais pas été chercher dans un ouvrage de seconde. Le plus difficile reste à faire, trouver cet ouvrage....
Avec un peu de chance ça a peut être été repris dans les anciens Terracher sur les homothéties -
Bonjour,
ce que nous dit Pappus sur le niveau des agrégés en géométrie élémentaire et le niveau des secondes des années 60 est bien inquiétant.
Faut-il supprimer l'agrégation comme on a supprimé le certificat d'études primaires ?
bien cordialement
kolotoko -
-
J'ai cité juste UNE référence, parce que j'aime bien la collection Lebossé-Hémery, mais je suis certain que ces références abondent, pour un problème aussi simple. Je suis certain que n'importe quel traité de la même époque donnera des solutions.
Ce Lebossé-Hémery de Géométrie de Seconde contenait pas mal de choses, mais tout de même pas autant, ni "presque (?)" autant que celui de Terminale, 286 pages contre 486.
Ces solutions sont spécifiques, elles ne consistent pas à "faire de la géométrie projective et de la géométrie circulaire sans le savoir".
Je comprends la tristesse de Pappus devant tout ce contenu que notre enseignement a abandonné. Qu'il en recherche les causes, et qu'il contribue à oeuvrer pour changer cela.
Nos agrégés d'aujourd'hui savent peut-être moins de géométrie élémentaire, mais ils savent certainement bien d'autres choses. -
Le gros problème, c'est que la plupart de nos futurs agrégés ne maitrisent pas le programme de géométrie de l'agrégation justement parce qu'ils n'ont eu aucune formation géométrique sérieuse auparavant!
Amicalement
Pappus -
Alors là je suis bien d'accord. Avant 1968, on faisait de la géométrie élémentaire dans tout l'enseignement secondaire, c'était une initiation au raisonnement logique. Voir par exemple le Lebossé-Hémery de Quatrième. Ensuite, en Math-Sup, on pouvait prendre les choses à l'envers et tout redémontrer à partir de la structure d'espace vectoriel. Les élèves avaient déjà en tête les images, les figures.
Avec les dites "Math-Modernes", on a cru malin de se passer de cet "échafaudage préalable" et passer directement à l'Algèbre linéaire, ce qui était une grave erreur pédagogique car les élèves ne voyaient plus rien.
Il faudra remettre tout ça sur ses pattes, et restaurer un enseignement de la géométrie, de la Sixième à la Terminale, qui soit logiquement cohérent, avec une axiomatique raisonnable. Bien sûr en réservant cet enseignement à des élèves capables et désireux de le suivre, en restaurant aussi une dé-massification. -
@ Jer anonyme
Peut-on avoir en ligne cet article : Ricardo Diaz and Sinai Robins, Pick's formula via the Weierstrass P-function, American Mathematical Monthly, 102 431-437 (1995) ? -
J'ai un peu cherché cet article mais je ne l'ai pas trouvé en ligne. Bonne chance...
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Bonjour!
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