0 puissance 0

Nico20 · July 2004

Bonjour à tous,

Bonnes vacances à ceux qui le sont !

Une petite question m'interpelle : Dans certains livres, on peut lire :
" On pose 0^0 = 1"
Dans d'autres ouvrages, il m'a semblé lire que 0 puissance 0 n'existait
pas !!!
Mon avis est que c'est un notation pratique mais qu'il faut utiliser avec
précaution ! Ai-je raison ?

Merci à tous de vos avis...

Nico.

aviva · July 2004

0 puissance 0 n'a à priori pas de sens.

Pour s'en convaincre:
Pour x <> 0, x^0 = 1 donc 0^0 = 1 ?
Pour x >0, 0^x = 0 donc 0^0 = 0 ?
Pour x>0, x^x -> 1 quand x -> 0...

Donc?

Donc souvent 0^0 = 1 dans les polynômes.

Pourquoi?

En notation formelle, quand tu dérives x^n, ça donne nx^(n-1).

Donc, pour x ça donne 1 * x^0.

Et quand tu fais x = 0 c'est pratique que ça fasse 1 (dérivée de x en tout point et en particulier en 0).

Donc quand on développe par binôme de Newton par exemple, 0^0 = 1

Bruno · July 2004

Bonjour Nico.

La notation $0^0$ peut désigner plusieurs choses, notemment :
\begin{itemize}
\item La limite éventuelle en $x_0$ de la fonction $u^v$ où $u$ est une fonction strictement positive de limite $0$ en $x_0$ et $v$ est une fonction de limite $0$ en $x_0$. A ce titre, les théorèmes d'opérations sur les limites ne permettent pas de répondre à la question. On dit donc que c'est une forme indéterminée ou encore que $0^0$ n'est pas défini.
\item Le nombre d'applications de l'ensemble vide dans lui-même. A ce titre, $0^0 = 1$.
\end{itemize}

Bruno

niko3 · July 2004

on peut egalement revenir à la definition de la fonction puissance :
$0^0=\exp({0\ln(0)})$
On voit qu'il y a un probleme de definition issue de la fonction ln.

jaybe · July 2004

Je ne trouve pas que l'explication d'aviva soit la plus naturelle (mais ce n'est que mon avis !). Lorsque l'on multiplie $x$ par $a^b$, cela signifie que l'on multiplie $x$ par $b$ unités de la quantité $a$. Remplacer $b$ par 0 signifie que l'on ne multiplie la quantité $x$ par aucune quantité $a$ ; on a donc conservé $x$ tel quel. C'est pourquoi il est logique de poser $0^0=1$, car 1 est l'élément neutre pour la multiplication (= le seul élément par lequel on peut multiplier tout nombre sans changer sa valeur.)

Nico20 · July 2004

Bref, on est toujours pas d'accord !!!

Je précise que mon souci provient de l'excellent livre de J-M Monier...

Après avoir défini les fonctions
$ x \mapsto a^{x}$ pour $x \in \R$ et $a \in ]0,1[ \cup ]1,+\infty[$, il définit aussi (c'est exactement dit comme cela dans son livre) :
** 1^{x} = 1 pour tout x dans R
** 0^{x} = 0 pour tout x>0
** 0^{0} = 1

J'en suis tout déboussolé !!!

Essayons de comprendre !!!

Merci à vous,

Nico.

niko3 · July 2004

ben il suffit de passer aux limites
$a^x=\exp{x\ln(a)}$

Philippe Malot · July 2004

Le problème c'est qu'il n'y a rien à comprendre...
Bruno a d'ailleurs bien répondu.

Nicodan · July 2004

$x^x=e^{x\ln x}$ ; $\lim_{x\to0+}x\ln x=0}$ donc l'exponentielle tend bien vers 1... on peut prolonger par continuité.

aviva · July 2004

Pas si simple. Il est subjectif d'interpréter 0^0 comme tu le fais.
Pourquoi pas lim (x->0+) 0^x ? ;-)

Bonne nuit

Nicodan · July 2004

Subjectif, subjectif... Le fait que, pour x>0, $\displaystyle \lim_{x\to0+}x^x=1$ semble montrer que si la notation $0^0$ doit désigner une valeur réelle, alors il est nécessaire que celle-ci soit 1. De là à faire d'une condition nécessaire une condition suffisante... En revanche, pourquoi envisager de prolonger en 0 une fonction (0^x) qui n'existe même pas pour x>0 ?

Bonne nuit aussi

Félix2 · July 2004

Bonjour Nico,

As-tu lu la suite du Monnier ? Il doit bien se servir de sa convention quelque part, et tu saurais ainsi pourquoi il a eu besoin (envie ?) de la poser.
Amitiés.
Félix

Thierry POMA1 · July 2004

Cher Nico,

Combien existe-t-il d'applications de $\emptyset$ dans $\emptyset$ ?
En déduire le cardinal de $\emptyset^{\emptyset}=0^0$.~\footnote{On rappel que $0=\text{Card}(\emptyset)=\emptyset$.}

Avec tout mon respect,

Thierry POMA

psi · July 2004

mon prof de sup nous avait un jour déclaré:
0^0 n'est pas défini en analyse
0^0=1 en algèbre linéaire: le premier 0 estl'élément neutre de la loi notée additivement, le deuxième 0 est l'entier naturel, le 1 est l'élément neutre de la loi notée multiplicativement.

moi, pour ce que j'en dis...

fabrice lille · July 2004

si 0^0 existait (et valait par exemple 1 ) alors pour toute suite xn et yn tendant vers 0 , on aurait (xn) ^( yn)

> 1

or par exemple exp(-n)^(1/n)

> $e^{-1}$

et on pourrait multiplier les exemples..........

Buttman0 · July 2004

Comme tout le reste: 0^0 vaut ce qu'on veut bien qu'il vale...

Buttman0 · July 2004

Cela étant la notation x^y désigne traditionnellement le cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble de cardinal y dans un ensemble de cardinal x et donc 0^0 vaut bien 1 lorsqu'on suit ce système de notations, comme cela à été expliqué plus haut

Zantac · July 2004

Salut,

dans le même genre j'ai une question qui me pose problème depuis très longtemps déjà. Disons donc que l'on pose (et c'est l'usage) $0^0 = 1$ par convention. Cependant, et puisque c'est une convention, ne peut-on pas avoir un problème avec une récurrence ?

Je m'explique. Supposons qu'une propriété $P$ soit héréditaire, mais que $P(n)$ soit fausse, $\forall n \in N$, et que pourtant du fait de cette convention on aurait $P(0)$ vrai (puisqu'une convention n'est pas "vraie" nécessairement). Alors un étudiant peu réveillé (pléonasme :-)) pourrait fort bien conclure que $P(n)$ est toujours vraie..... Et ceci peut-être vrai avec d'autres conventions. Tout ça pour dire qu'à mon avis il est très dangereux d'initialiser avec une convention. Si quelqu'un avait un exemple....

Denis

Corbeau0 · July 2004

Tu penses à une certaine propriété P en particulier? De toute façon si P(n)est fausse pour tout n alors P(0) est fausse vu l'appartenance de 0 à N

Bruno · July 2004

Ca c'est ce que j'appelle un raisonnement fallacieux ! Il n'y aurait pas certains problèmes de continuité par hasard ?

Bruno

Bruno · July 2004

Bonjour Zantac.

Quand on réalise une démonstration par récurrence, on considère un énoncé avec un paramètre qui est un entier ce que l'on symbolise par l'écriture $P(n)$. La particularité d'un énoncé à paramètres c'est d'être soit vrai, soit faux selon l'interprétation des paramètres. Donc l'énoncé $P(0)$ est vrai ou il est faux, selon la façon dont on interprète $0$ (:-))) mais on ne peux pas en décider arbitrairement.

Sans vouloir critiquer le moins du monde l'association d'idée, je te fais remarquer que le problème de $0^0$ est d'une autre nature, il s'agit de savoir si l'on peut attribuer une valeur à une constante logique (un symbole destiné à représenter un objet individuel) ; pas de déterminer la valeur de vérité d'un énoncé.

Bruno

0 puissance 0

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