inégalité de Poincaré

Bonjour

L'inégalité de Poincaré pour un ouvert borné $\Omega$ de $\mathbf{R^n}$ stipule qu'il existe une constante $C(\Omega)>0$ telle que:
$\forall u \in H_0^1(\Omega), \int_{\Omega} u^2 dx \leq C(\Omega) \int_{\Omega} \nabla u^2 dx$

Je précise que j'ai noté $C(\Omega)$ la plus petite constante strictement positive qui vérifie l'inégalité de Poincaré.

Peut-on en déduire que l'on peut toujours choisir une constante : $0<\delta<C(\Omega)$ telle que :
$\forall u \in H_0^1(\Omega) \int_{\Omega} u^2 dx > \delta \int_{\Omega} \nabla u^2 dx$

Merci d'avance.