CNS pour un produit scalaire

johngrisham
johngrisham
dans Analyse
Bonjour,

J'ai la forme bilinéaire suivante :
$$
B((x,y),(x',y'))=axx' +bxy'+cyx'+ dyy'.
$$

Je dois trouver une CNS sur $a,b,c,d$ telle que $B$ est un produit scalaire.

Je dis que cela signifie que pour tous $(x,y)\neq (0,0)$ on a :
$$
ax^2+(b+c)xy + dy^2>0
$$

En prenant $x=0$ ou $y=0$, on obtient $a>0$ et $b>0$.

En supposant maintenant $x$ et $y$ tous deux non nuls, on obtient :
$$
ax+dy>-(b+c)
$$
On a donc l'ensemble des $(a,b,c,d)$ tels que $a>0$, $b>0$ et pour tous $x,y$ non nuls $ax+dy>-(b+c)$

Mais après, je ne vois pas quoi dire... Quelqu'un peut m'aider ?

Merci d'avance.

Réponses

  • trochoïde
    trochoïde
    Bonjour. C'est $d$ qui est strictement positif, non?
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Bonjour,
    Déjà, il faut t'assurer que ta forme sera bien symétrique. Ce qui imposera une condition sur $b$ et $c$.
    Ensuite pour ton inégalité $$ax+dy>-(b+c)$$ j'ai l'impression que tu divises tout par $xy$, mais que dans ce cas $x^2/(xy)=x$ chez toi!
    Je te propose plutot de regarder $$ax^2+(b+c)xy + dy^2>0$$ comme un polynôme en $x$ ou en $y$ et de traduire le fait qu'il est positif (sachant que $a,d>0$).
    Cordialement
  • johngrisham
    johngrisham
    Merci à tous. En effet, j'ai dit quelques bêtises. Alors je reprends.

    Déjà la symétrie impose $b=c$. Ensuite, le fait que ce soit défini positif impose que $a>0$ et $d>0$.

    On a alors pour $x$ et $y$ tous deux non nuls, en divisant par $xy$ : $$
    \Big|a\frac{x}{y}+2c +d\frac{y}{x}\Big|>0,
    $$ les valeurs absolues provenant du fait que $xy$ peut être négatif.
    En multipliant par $\frac{x}{y}$, on obtient : $$
    \Big|a\frac{x^2}{y^2}+2c\frac{x}{y} +d\Big|>0
    $$ Et donc il suffit de trouver une CNS sur $a,b,c$ pour que le polynôme $aX^2+2cX+d$ ne s'annule pas sur $\R$, ce qui s'étudie avec les discriminants.

    C'est bien ça ?
  • johngrisham
    johngrisham
    Et ça donne $c^2<ad$. C'est bon ?
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Note que diviser par $xy$ puis multiplier par $x/y$ c'est diviser par $y^2$ qui est positif. Donc plus d'ennui de valeurs absolues et donc plus d'erreur de raisonnement.
    Tu es donc rendu à trouver une CNS pour avoir $aX^2+2bX+d >0$, le discriminant est une bonne solution.
    Cordialement
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Oui c'est le résultat, mais ta preuve actuelle ne me convainc pas.
  • johngrisham
    johngrisham
    Merci Maxime T. Mais qu'est-ce qui cloche dans la preuve ? Si on divise par $y^2$ comme vous dites, qu'est-ce qui ne va pas après ?
  • Maxime T.
    Maxime T.
    C'était ton passage avec les valeurs absolues, en particulier $|a\frac{x^2}{y^2}+2c\frac{x}{y} +d|>0$ qui ne me plaisait pas trop. En divisant par $y^2$, ça me plait plus.
    Puisque la condition à vérifier est $$ax^2+2cxy +dy^2>0$$ pour tout $(x,y)\neq(0,0)$, cela entraine en particulier que $$|ax^2+2cxy +dy^2|>0$$, et en fait c'est équivalent, mais ça demande un peu de travail (et c'est inutile).
    Cordialement
  • johngrisham
    johngrisham
    Je veux dire, on a :
    $$
    (C) : \quad ax^2 +2cxy +dy^2>0 \quad \forall (x,y)\neq (0,0)
    $$

    La condition $(C)$ est équivalente à
    $$
    y\neq0 \Rightarrow a\frac{x^2}{y^2}+2c\frac{x}{y}+d>0 \quad {\textrm{et}}\quad x\neq0 \Rightarrow a+2c\frac{y}{x}+d\frac{y^2}{x^2}>0
    $$

    Donc $(C)$ est équivalente à
    $$
    aX^2+2cX+d>0 \quad {\textrm{et}} \quad a+2X+dX^2>0, \quad \forall X\in \R
    $$

    Ce qui est équivalent à $c^2<ad$.
  • johngrisham
    johngrisham
    Merci Maxime T. Juste une dernière chose, est-ce que la rédaction de mon dernier message vous paraît correcte ?
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