Série des entiers

Bonjour

C'est un truc à savoir par cœur. Il s'agit de la somme de $m$ termes d'une suite arithmétique commençant à 1 et de raison 1.
On peut aussi le vérifier par récurrence!

On peut aussi y aller à la main :
- si $m$ est pair, on a
$$\sum_{k=1}^m k = \sum_{k=1}^{m/2} k + \sum_{k=1+m/2}^m k = \sum_{k=1}^{m/2} k + \sum_{k=1}^{m/2} m + 1 - k = \sum_{k=1}^{m/2} m + 1 = \frac{m(m+1)}{2},$$
- si $m$ est impair, $m-1$ est pair et on a alors
$$\sum_{k=1}^m k = m + \sum_{k=1}^{m-1} k = m + \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m(m+1)}{2}.$$
Je trouve ça formateur, c'est accessible dès le collège sans le formalisme, e.g.
\begin{align*}
1+\dots+10 &= (1+\dots+5) + (6+\dots+10) \\&= (1+\dots+5) + (10+\dots+6) \\&= (1+10) + \dots + (5+6) \\&= 5 \times 11 \\&= \frac{10 \times 11}{2}.
\end{align*}