équation de la chaleur

xavierdestev · February 2014

Bonjour,
Soit l'équation sur $[0,1]\times [0,1]$ : $$\begin{cases}
\partial_t u - \partial^2_x u = 0 \\
\ u(0,t) =0,\quad u(1,t) = 0 \\
\ u(x,t) = u_0(x)\text{ sur } ]0,1[
\end{cases}
$$ Peut-on choisir le $u_0 (x)$ librement sans le faire tendre vers $0$ au bord ?
Merci d'avance.

[Merci AD pour ton superbe latex!]

pluton · February 2014

bonjour :

la condition initiale est mal écrite en temps, et les conditions aux limites aussi, puisqu'elles s'appliquent pour $t>0$. Bon, sinon, je réponds avec très peu de rigueur mathématique. J'imagine que tout dépend du type de solution cherchée, et des espaces fonctionnels associés. D'un point de vue physique, j'ai l'impression que l'on peut penser à ce qui suit : la barre est initialement à une température $u_0(x)$, disons constante à 20°C. A $t=0^+$, on vient appliquer deux fers rouges à 1000°C en $x=0$ et $x=1$ (conditions de Dirichlet j'imagine). Ca ne semble pas absurde. Par contre, vous ne pouvez pas prescricre une condition initiale en $x=0$ et $x=1$ qui ne soit pas compatible avec les conditions aux limites. Pour ce dernier commentaire, ça n'est pas certain mais je crois que ce qui se passe en $(x=0,t=0)$ et $(x=1,t=0)$ est un peu transparent en fait et n'a pas besoin d'être indiqué.

xavierdestev · February 2014

Bonjour,

J'ai imposé $u_0 (x) = 1$ mais avec le schéma explicite avec N=210 et M=10, j'obtiens :
31857

pluton · February 2014

ah oui, mais je parlais d'un point de vue théorique. Ensuite, l'approximation numérique est une autre histoire. Quelle est la discrétisation en espace ?

xavierdestev · February 2014

C'est

double h=1./(N+1);

C'est à dire par un pas régulier de $[0,1]$.

équation de la chaleur

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