Fonction séparément continue

zinaudore
zinaudore
dans Analyse
Bonsoir
Comment pouvons-nous montrer qu'il existe des fonctions séparément continues qui ne sont pas continues.
Cordialement.

Réponses

  • zinaudore
    zinaudore
    Lorsque l'on a montré ceci :
    $f(x,y) > \alpha \Longleftrightarrow \exists k \in \mathbb{N}^*,\ \exists I \in J,\ ( x \in I\text{ et } \forall u \in I,\ f(u,y) \ge \alpha + \frac{1}{k}) $
    Comment pouvons-nous faire pour montrer que toute fonction séparément continue est borélienne
    Merci à l'avance de votre aide.

    [Restons dans la discussion que tu as déjà ouverte. AD]
  • seub
    seub
    En en exhibant une ?
  • zinaudore
    zinaudore
    Si je prends par exemple $f(x,y) = \dfrac {xy}{x^2+y^2}$ et si j'ai déjà vu auparavant qu'il n'est pas possible de prolonger $f$ en une fonction continue sur $\R^2$, est-ce correct ?
  • zinaudore
    zinaudore
    Je l'ai quand meme redige

    Mais,
    Comment pouvons-nous faire pour montrer que toute fonction séparément continue est borélienne
    Merci à l'avance de votre aide.

    cordialement
  • danielsaada
    danielsaada
    toute fonction séparément continue est limite simple
    d'une suite de fonctions continues.
  • zorg690
    zorg690
    Tiens, je ne connaissais pas le théorème de la limite simple de Baire. Je vais tâcher de me renseigner là-dessus.
  • danielsaada
    danielsaada
    Plus de détails, Page 239
  • science05
    science05
    Bonjours Comment montrons nous ceci ?
    > $f(x,y) > \alpha \Longleftrightarrow \exists k
    > \in \mathbb{N}^*,\ \exists I \in J,\ ( x \in
    > I\text{ et } \forall u \in I,\ f(u,y) \ge \alpha
    > + \frac{1}{k}) $

    Cordialement
  • Poirot
    Poirot
    Euh c'est quoi $I, J, x, y$ et $\alpha$ ?
  • science05
    science05
    J est la famille de tous les intervalles fermés I inclut dans R à extrémités rationnelles

    alfa appartient à R

    (x,y) appartiennent à R^2
  • Poirot
    Poirot
    Comment le sais-tu, alors que la réponse initiale contenant ces notations date d'il y a cinq ans ?
  • science05
    science05
    Poirot
    Parce que j'ai le même sujet devant mes yeux avec cette équivalence ^^

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Poirot
    Poirot
    D'accord, étonnant.

    L'implication $\Leftarrow$ est évidente. Pour la réciproque, il suffit d'utiliser la continuité en $x$ : la fonction $g : u \mapsto f(u,y)$ est continue et on a $g(x) > \alpha$, donc si $\varepsilon > 0$ est suffisamment petit, on a $g(u) \geq \alpha + \varepsilon$ sur un voisinage de $x$. Il suffit alors de choisir un segment à extrémités rationnelles inclus dans ce voisinage et contenant $x$, et un entier $k \geq 1$ tel que $\frac{1}{k} \leq \varepsilon$.
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