Suite de Cauchy

Bonjour à tous : ( FdP , géomètre , zorg69 , GastonLagaffe ... etc )

J'ai réussi à faire la première question :
$ \forall m > n > 2 $ :
$ | r_m - r_n | = \displaystyle \sum_{k=1}^{m} \dfrac{1}{k!} - \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k!} = \displaystyle \sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{(n+1)!} + \dfrac{1}{(n+2)!} + \dots + \dfrac{1}{(m-1)!} + \dfrac{1}{m!} $
$ \leq \dfrac{1}{(n+1)!} \Big( 1 + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{(n+2)(n+3) \dots (m-1)m} \Big) $
$ \leq \dfrac{1}{(n+1)!} \Big( 1 + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{(n+2)(n+2) \dots (n+2)(n+2)} \Big) $
Puisqu'il y'a : $ m+1 - (n+2) = m-n-1 $ facteurs dans le $ (n+2)(n+3) \dots (m-1)m $ de $ \dfrac{1}{(n+2)(n+3) \dots (m-1)m} $, alors :
$ | r_m - r_n | \leq \dfrac{1}{(n+1)!} \Big( 1 + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{(n+2)^{m-n-1}} \Big) $

Correct ?
Comment faire pour la deuxième question svp ?

Merci d'avance.

Edit : Je bloque à la deuxième question. Elle est trop ardue cette question. :S

Bonjour samsam :

$$\sum_{k=0}^n a^k = \dfrac{1 - a^{n+1} }{ 1 - a } $$
$$\sum_{k=0}^\infty a^k = \dfrac{1}{1 - a } $$
avec : $ |a| < 1 $
$$ \displaystyle \sum_{k \geq 0} \Big( \frac{1}{n+2}\Big)^{k} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{n+2}} = \dfrac{n+2}{n+1} $$
Mais, je ne comprends pas où il faut utiliser cette idée dans cette question :
$ | r_m - r_n | \leq \dfrac{1}{(n+1)!} \Big( 1 + \dfrac{1}{n+2} + \dots + \dfrac{1}{(n+2)^{m-n-1}} \Big) \leq \dfrac{1}{(n+1)!} \displaystyle \sum_{k \geq 0} \Big( \dfrac{1}{n+2} \Big)^{k} $
$ = \dfrac{1}{(n+1)!} \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{n+2}} = \dfrac{1}{(n+1)!} \dfrac{n+2}{n+1} = \dfrac{n+2}{(n+1)^{2}} \dfrac{1}{n!} \leq \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{n!} \leq \dfrac{1}{n} $

Correct ?

Et pour la trosième question ?

Merci d'avance.

Merci FdP.

Alors, on a trouvé que : $ \forall m > n > 2 $ : $ | r_m - r_n | \leq \dfrac{1}{n} $
Donc, $ \forall \epsilon > 0 $ : $ \dfrac{1}{n} < \epsilon \ \ \Longrightarrow \ \ | r_m - r_n | < \epsilon $.
C'est à dire : $ \forall \epsilon > 0 $ : $ n > \dfrac{1}{\epsilon} \ \ \Longrightarrow \ \ | r_m - r_n | < \epsilon $.
Donc, il suffit de prendre pour $ N ( \epsilon ) = \max \Big( 2 , E \Big( \dfrac{1}{\epsilon} \Big) + 1 \Big) $, et on a :
$ \forall \epsilon > 0 \ \exists N ( \epsilon ) = \max \Big( 2 , E \Big( \dfrac{1}{\epsilon} \Big) + 1 \Big) \ \forall m , n \in \mathbb{N} $ :
$$ m> n > N ( \epsilon ) \ \ \Longrightarrow \ \ | r_m - r_n | < \epsilon $$
Par conséquent : $ (r_n )_{n \geq 1} $ est une suite de Cauchy.

Correct ?

Merci d'avance.

Tu as passé ton QCM @kazeriahm ou pas encore ?
Peux tu me filer les exos qui ont été proposé dans ce QCM ?
Pour voir si je peux les résoudre. Parce que il me semble que le QCM est soumis à un chonométrage, non ?
Cordialement.