Inclusion

Pablo_0
Pablo_0
dans Analyse
Bonsoir à tous,

Soit $ \Omega $ un ouvert de $ \mathbb{R}^n $ :

Pourquoi : $ \forall p \in [ 1 , + \infty ] $ : $ L^p ( \Omega ) \subset L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) $ ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Pablo_0
    Pablo_0
    Donc, il faut supposer $ f $ telle que : $ \displaystyle \int_{\Omega} | f |^p d \mu < + \infty $, et montrer que $ \displaystyle \int_{\Omega} | f \mathbf 1_{K} | d \mu < + \infty $ pour tout compact $ K $ de $ \Omega $.
  • aurelpage
    aurelpage
    Salut,

    L'inégalité de Hölder, ça te dit quelque chose ?

    Aurel
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Salut :

    Merci d'abord, pour ton aide.
    Alors : $ \displaystyle \int_{K} |f| d \mu = \int_{\Omega} | f \mathbf 1_{K} | d \mu \leq \Big( \displaystyle \int_{\Omega} |f|^p d \mu \Big)^{1/p} \Big( \displaystyle \int_{\Omega} | \mathbf 1_K |^q d \mu \Big)^{1/q} \leq || f ||_p \Big( \mu (K) \Big)^{1/q} < + \infty $
    si on considère biensûr $ \mu $ finie, mais c'est ça l'idée, je pense.
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Donc, l'espace de Sobolev $ W^{m,p} ( \Omega ) $ est inclus dans l'espace des distributions $ \mathcal{D} ( \Omega ) $ ?
    Parce que tout élément $ f \in L^p ( \Omega ) $ s'identifie à une distribution régulière $ T_f $, n'est ce pas ?
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Bonjour,

    Quelle est la définition de $L^1_{loc}(\Omega)$?

    Merci.
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Bonjour,

    $$ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) = \{ \ f \mathbf 1_{K} \ | \ f \in L^1 ( \Omega ) , \ \ K \ \text{est un compact} \ \} $$
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Et c'est quoi un espace de Sobolev? C'est pas évident que c'est un espace de distribution?
  • egoroffski
    egoroffski
    Pablo a écrit:
    $$ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) = \{ \ f \mathbf 1_{K} \ | \ f \in L^1 ( \Omega ) , \ \ K \ \text{est un compact} \ \} $$
    Je sens que ton certificat de distributions tu vas l'avoir les doigts dans le nez (tu)
  • Pablo_0
    Pablo_0
    $$ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) = \{ \ f \ | \ f \mathbf 1_{K} \in L^1 ( \Omega ) , \ \ \forall K \ \text{ compact} \ \} $$
    Maintenant ? ( egoroff ? )
    non ?

    @Maxime T :
    Un espace de Sobolev, est, par définition :
    $$ W^{k,p} ( \Omega ) = \{ \ f \in L^p ( \Omega ) \ | \ \partial^{ |\alpha|} f \in L^p ( \Omega ) \ \forall | \alpha | \leq k \ \} $$
    Donc : $ W^{k,p} ( \Omega ) \subset L^p ( \Omega ) \subset \mathcal{D} ( \Omega ) $, non ?
  • egoroffski
    egoroffski
    Tu te poses les questions dans le mauvais ordre. Que signifie $\partial^{\alpha} f$ dans la définition de $W^{k,p}$ ?

    PS : il y a une coquille, c'est $\partial^{\alpha} f \in L^p$ et pas $\partial^{|\alpha|} f \in L^p$, qui n'a pas de sens dès que l'espace ambiant a plusieurs dimensions.
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Elle signifie que : $ \displaystyle \int_{\Omega} | \partial^{\alpha} f |^p d \mu < + \infty $ pour tout $ \alpha \in \mathbb{N}^{n} $ tel que $ | \alpha | \leq k $, non ?
    $ \partial^{\alpha} f (x) = \displaystyle \dfrac{ \partial^{|\alpha|} f }{ \partial x_{1}^{\alpha_{1}} \dots \partial x_{n}^{\alpha_{n}} } (x) $
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Egoroff a très bien compris où je veux en venir:
    C'est quoi $\partial^\alpha f$ quand $f$ n'est pas suffisament différentiable?
    Par ailleurs, $L^1_{loc}$, c'est toujours pas ça.
    Cordialement
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Mes cours d'intégration sont très lointains et je me demande que viennent faire les espaces de Sobolev dans la question initiale?

    Pablo:

    Ne vois tu pas une différence entre ce que tu écris ici:

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,902916,902925#msg-902925

    et ici (au début):
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,902916,902974#msg-902974

    ?
  • zorg691
    zorg691
    Pablo écrivait:
    > Bonjour,
    >
    > $$ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) = \{ \ f \mathbf
    > 1_{K} \ | \ f \in L^1 ( \Omega ) , \ \ K \
    > \text{est un compact} \ \} $$

    Non. L1(loc) est simplement l'ensemble des fonctions intégrables sur tout compact de oméga.
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Bonjour tout le monde : egoroff , maxime, FdP , zorg69 :

    Je ne comprends pas où vous voulez me conduire ... Je suis complètement perdu ... :-(

    @Maxime :
    $ \partial^{\alpha} f $ est la dérivation au sens de distributions il me semble même si $ f $ n'st pas suffisament differentiable.
    $ f \in L_{\mathrm{loc}}^1 $ signifie en bref que $ \displasystyle \int_K |f| d \mu = \int_{\Omega} | f \mathbf 1_K | d \mu < + \infty $ pour tout compact, donc :
    $$ L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) = \{ \ f \ | \ f \mathbf 1_K \in L^1 ( \Omega ) \ \ \forall K \text{compact} \ \} $$
  • Maxime T.
    Maxime T.
    Tu cherches a montrer que les espaces de Sobolev sont des espaces de distribution, et comme tu viens de le dire, les dérivées partielles sont a prendre au sens des distributions.
    La raison est très simple, les espaces de Sobolev sot les espaces de distributions qui sont représentées, ainsi que leur dérivées jusqu'à l'ordre $m$ par des fonctions $L^p$.
    Ce sont donc bien évidement des distributions.
    L'avantage très net de ces espaces, c'est qu'ils sont des Banach (et ça c'est cool).
    Mais la encore, ce n'est pas une trivialité que l'on maitrise en survolant le sujet.
    Termine déjà tes exos sur les distributions, ça fait déjà beaucoup de boulot (surtout en amont).
    Cordialement
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Merci @Maxime T. :)
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Bonsoir :
    Est ce que $ L^{\infty} ( \Omega ) \subset L_{\mathrm{loc}}^1 ( \Omega ) $ avec $ \Omega $ un ouvert de $ \mathbb{R}^N $ ?
    Merci d'avance.
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