Cours de M1 probas-stats
Bonjour,
Je sais que certains ici avaient apprécié le poly du cours de M1 que j'avais fait il y a quatre ans.
Il se trouve que je vais à nouveau enseigner en M1; le poly a été pas mal remanié, même si je suis encore loin d'une version qui me satisfasse pleinement.
Quoi qu'il en soit, c'est là et vos commentaires seront les bienvenus.
\url{http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/pps/}
Je sais que certains ici avaient apprécié le poly du cours de M1 que j'avais fait il y a quatre ans.
Il se trouve que je vais à nouveau enseigner en M1; le poly a été pas mal remanié, même si je suis encore loin d'une version qui me satisfasse pleinement.
Quoi qu'il en soit, c'est là et vos commentaires seront les bienvenus.
\url{http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/pps/}
Réponses
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Ton poly a l'air très chouette. Notamment, j'apprécie beaucoup la présence du Chapitre 5 et des Exercices 64,68 du Chapitre 9 !
Je n'ai pas lu dans le détail, mais j'ai relevé ceci :
1.7.2 Exercice 4. J'ai l'impression qu'il manque la consigne « montrer que la convergence a lieu dans $L^1$ » -
Bien vu ! Merci !
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Je feuillette...
- exercice 2 page 7 : pourquoi une majuscule à "binomiale" ?
- exercice 6 page 7 : une parenthèse en trop à l'avant-dernière ligne
- exercie page 20 : manque des crochets dans les espérances
- la typographie correcte de $(X_n)_{n \leq 0}$ est ${(X_n)}_{n \leq 0}$
- corollaire 8 page 43 : pluriel
- ligne juste au-dessus: féminin
- ta définition d'espace polonais n'est pas la définition usuelle (topologie métrisable par une métrique complète)
- théorème 17 page 45 : trois notations différentes pour la proba conditionnelle
- dernière ligne de la section 4.1 page 45 : inclue -> incluse
- je suis peut-être pointilleux sur l'aspect littéraire des mathématiques mais "une fonction $f$ $\mu$ presque sûrement positive" c'est pas joli (lemme 6 page 47)
- de même pour la 1ère ligne de la démonstration de ce lemme, deux symboles mathématiques qui se suivent
- dans ce lemme, accorder "tel"
- Titre section 4.4: accent
- Théorème 19 page 51 : "Soient x et y ..." alors qu'avant j'étais choqué maintes fois par des "Soit x et y..." partout -
Cette remarque sur la "fonction $f$ $\cal A$-mesurable" me conforte dans mon idée que les terminologies du type "$\cal A$-mesurable", "$n$-linéaire", etc, sont des anglicismes. (qui n'apparaissaient jamais dans la littérature mathématique française jusqu'à une époque). En anglais on dirait "an $\cal A$-measurable function $f$" et le problème n'apparaît pas. Traduire "$\cal A$-measurable" par "$\cal A$-mesurable" engendre la bizzarerie "fonction $f$ $\cal A$-mesurable".
Jamais un québecois n'écrirait une chose pareille
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Merci, Béru, pour toutes ces remarques. J'en ai tenu compte. Pour les espaces polonais, je suis bien conscient que j'ai fait un choix pédagogique qui peut être critiqué. Tu as mille fois raison pour la concordance des "soient". Meliora video, proboque, deteriora sequor... J'en ai corrigé quelques uns, mais il en reste sans doute beaucoup.
Pour les indices et les parenthèses, ta remarque est pour moi une découverte. Je te crois sans peine, mais je ne suis pas sûr de voir la différence à l'écran. Grand merci encore. -
Pourtant la différence est fort visible: la typographie correcte de $(X_n)_{n \leq 0}$ est ${(X_n)}_{n \leq 0}$
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C'est un excellent cours.:)-D
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Bonsoir, ayant suivi un cours semblable l'année dernière en observant mes camarades (et je dois l'avouer n'ayant toujours pas pleinement absorbé certaines notions), je me permet quelques remarques:
- Commencer par l'équi-intégrabilité sans motivation c'est assez violent. Je le mettrais plus en annexe rappels ou compléments de théorie de la mesure ou avant la démonstration du théorème de convergence des martingales.
- Le paragraphe de motivation sur l'esperance conditionnelle donne une motivation pour un mathematicien confirmé mais ça reste totalement abstrait pour la plupart des étudiants de M1 a mon avis.
- De même, la plupart des notions introduites mériteraient un petit pargraphe donnant l'intuition. Deux mots sur la notion de filtration comme modélisant l'information disponible qui croit avec le temps, la notion de martingale comme jeu équitable, temps d'arrêt comme stratégie ne dépendant que de l'info présemment disponible, justification de la tribu produit/theoreme de Kolmogorov en terme de mesurabilité au sens physique (d'un nombre fini) de quantités, processus de Markov comme un processus dont le futur ne dépend que de son présent etc...
- Idem sur les lois de processus, c'est un truc difficile à absorber. Je ne sais pas ce que tes étudiants vont retenir de toute cette partie y compris le théorème d'extension de Kolmogorov sans rappel sur les classes monotones. D'après ce que j'ai compris, les problèmes de mesurabilité ne se posent réellement qu'en temps continu. Vu que tu te limites aux martingales et chaines de Markov en temps discret, je ne sais pas s'il y a grand intérêt à passer du temps sur ces aspects techniques. Il y a déjà énormément de choses à comprendre dans le cas d'un espace d'états fini et le passage au dénombrable est tout à fait naturel.
- Quitte à faire Radon-Nikodym et les martingales, le lien meriterait d'être fait dans le cadre d'un espace filtré.
- La partie stats me parait un peu ambitieuse et déconnectée du reste du cours. Je ne sais pas comment l'enseignement est organisé dans ta fac et quel est le niveau des étudiants mais il y a fort a parier que tu auras des étudiants n'ayant pas suivi de cours de stat math. Un rappel de ce qu'est un modèle statistique, une statistique, les propriétés de bases des estimateurs ainsi les constructions de base: méthode des moments ou de substitution, maximum de vraissemblance, lemme de Slustky, $\delta$-méthode, intervalles de confiances semblent nécessaires et prennent deja beaucoup de temps. Je crois que tu prévois de rappeler juste les notions de base sur les estimateurs avant de passer aux modèles exponentiels (très joli sujet mais qui risque d'être trop ambitieux et déconnecté me semble-t-il).
En revanche, je trouve les exos très intéressants.
Cordialement, -
J'ai eu un peu les mêmes réaction qu'afk quand j'ai feuilleté le poly (pas assez de texte et énoncés trop bourbakistes pour notre époque). Mais j'imagine bien qu'il ne s'agit que d'un support de cours qui ne remplace pas le cours.
Par exemple la définition de la loi conditionnelle m'a semblé incompréhensible pour un étudiant standard de M1 (qui ne sait pas vraiment ce qu'est une définition à vrai dire). J'introduirais ça, par un paragraphe du genre:
Lorsque $X$ est une variable aléatoire, toutes les espérances de la forme $E[f(X)]$ sont déterminées par la loi de $X$ : $$E[f(X)]=\int f d\mu$$ où $\mu$ est la loi de $X$. Autrement dit, $E[f(X)]$ est la moyenne de la fonction $f$ par rapport à $\mu$. De même, lorsque $\cal B$ est une tribu, toute espérance conditionnelle de la forme $E[f(X)|{\cal B}]$ est la moyenne de la fonction $f$ par rapport à la loi conditionnelle de $X$ sachant $\cal B$. De même que l'espérance conditionnelle est une variable aléatoire, la loi conditionnelle est une probabilité aléatoire $\mu^{\cal B} \colon \omega \mapsto \mu^{\cal B}_\omega$ telle que $$E[f(X) \mid {\cal B}](\omega)=\int f d\mu^{\cal B}_\omega$$ pour presque tout $\omega$. Donnons maintenant une définition rigoureuse : ... -
Béru a écrit:la définition de la loi conditionnelle m'a semblé incompréhensible pour un étudiant standard de M1 (qui ne sait pas vraiment ce qu'est une définition à vrai dire)
Il y a une première fois à tout...
Plus on fait semblant, longtemps, de faire des mathématiques devant les étudiants, plus ils tardent à comprendre les choses simples.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Que de réactions !
J'aurais peut être dû prévenir que les différents chapitres de ce poly sont dans des états de rédaction très différents: j'ai déjà enseigné plusieurs fois 2,3,8,9,10 et j'ai continué à enrichir le doc à mes heures perdues depuis; pour le 5 j'y travaille aussi depuis quelques temps. Quant aux autres chapitres, ils sont âgés d'au plus deux mois quand j'ai appris que je devrais faire ce cours. Il est évident qu'un matériel de deux mois, voire dix jours, n'a pas le même niveau de qualité qu'un matériel sur lequel je travaille depuis dix ans. Il y a évidemment quelques pages qui manquent sur la loi conditionnelle, ainsi qu'un chapitre d'introduction aux statistiques: pour la qualité du document, ce sera nécessaire un jour, mais les étudiants que je vais avoir cette année ont déjà eu au premier semestre un enseignement de 60h avec l'espérance conditionnelle, la loi conditionnelle et quelques petits trucs de stats.
@afk : Merci d'avoir pris tant de temps pour me répondre. Je ne vais pas tout commenter, juste un point, sur la notion de processus, où je ne suis pas du tout d'accord avec toi.
Ca ne me pose aucun problème d'admettre des trucs, de ne pas faire des preuves trop techniques (et un poly sert aussi à ça), en revanche quand quelque chose me paraît être le bon cadre, je ne me défile pas, tout en essayant d'avoir toute l'écoute nécessaire aux réactions de la salle. Sur ce chapitre en particulier, ce qui se passera en classe sera vraisemblablement très différent de ce qui est sur le poly. La notion de loi sur un espace canonique est, de mon point de vue, très importante; elle est très utile pour exprimer correctement la propriété de Markov (que l'espace soit fini, dénombrable, ou R n'y change rien); elle est aussi importante en statistiques ou là encore l'espace mesuré est l'espace canonique, ce qui est quelque chose qui n'est pas si fréquent dans ce qu'on fait avant, et pose une réelle difficulté conceptuelle pour les étudiants, habitués à la boîte noire de la "variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$. -
Béru:
Je réagissais surtout sur cette remarque au sujet des définitions dans le passage que j'ai cité, pas sur le reste du contenu de ton message. J'ai eu aussi des étudiants adultes qui ne comprenaient pas la façon normale d'exposer les mathématiques (notamment avec des définitions précises) ce qui rendait la communication avec eux très pénible. A mon humble avis il n'y a rien à gagner à retarder indéfiniment l'instant où on commence à présenter les maths comme on le fait dans presque tous les documents ou livres disponibles un peu partout: avec des définitions, des preuves etc.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Ok. En fait je ne pensais pas seulement aux étudiants. J'essaye aussi d'appliquer ça quand j'écris des articles. Même pour un mathématicien confirmé certains énoncés mathématiques sont difficiles à digérer, et on peut épargner un effort au lecteur en expliquant en français ce que dit l'énoncé. C'est plus intéressant quand il s'agit d'étudiants car ceux-ci peuvent s'autoriser à ne pas faire un effort de compréhension quand l'énoncé leur semble trop compliqué (ce qui représente pour eux un alibi pour ne pas faire cet effort).
Mon exemple avec la loi conditionnelle peut se résumer ainsi: La définition de la loi conditionnelle donnée ci-dessous est incompréhensible. Toutefois, voici ce qu'il faut moralement en retenir, technicité mise à part : ...
Car finalement moi aussi quand je lis un énoncé mathématique je me pose la question : "Que dit cet énoncé ?", et je le traduis plus ou moins en français.
Autre exemple quand un lemme est difficile à lire, on peut aider le lecteur en attirant son attention sur un cas particulier : Le lemme ci-dessous montre en particulier que ....
Quand par exemple on donne une définiton technique de l'espérance conditionnelle, on peut rassurrer l'étudiant : La définition de l'espérance conditionnelle donnée ci-dessus est utile pour établir des propriétés théoriques générales sur l'espérance conditionnelle, mais elle est peu utilisée en pratique pour déterminer l'espérance conditionnelle.
etc... -
C'est d'ailleurs très Français de vouloir gommer toute interprétation ou explication plus intuitive des textes mathématiques. Dans d'excellents livres on trouve aussi des exemples, illustrations, explications morales qui permettent de faire comprendre... avant de donner une définition rigoureuse.
J'ai un cours où le calcul de Malliavin est présenté de manière "intuitive" avant de donner une définition précise. Après ne pas l'avoir utilisé pendant quelques années les grandes idées me restent grâce à cette explication intuive. -
Je crois que c'est Neveu qui a dit que pour écrire un texte mathématique il faut : "Toujours imaginer un lecteur particulier, bien précis, et écrire pour lui.".
(mais je ne suis pas sûr qu'en imaginer un seul soit le mieux) -
Très pertinent comme citation je trouve ! Et plus j'avance en maths plus je trouve que ça devient pertinent, un article scientifique clair pour deux lecteurs à la fois c'est quasi impossible
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J'ai apprécié la petite vidéo sur l'intérêt de ne pas pomper les corrections de DM (Orson Welles) (tu)
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C'est ca la classe americaine!
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Bonjour!
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