forme coercive et continue

xavierdestev · January 2014

Bonjour,

Montrer que :

\[a(u,v) = \int_{\Omega} (2 \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2}
+ 2 \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_2}) dx
+ \int_{\Omega} uv dx
+ \int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u) \gamma_0 (v) d \sigma
\]

est coercive et continue.

Merci d'avance.

gb · January 2014

Bonjour,

Où vivent $u$ et $v$ ?
Dans quel pays est situé $\Omega$ ?
Quelle topologie utilise-t-on pour parler de continuité ?
Qui est $\gamma_0$ ?

La vraie question : où est la difficulté ?

xavierdestev · January 2014

$u$ et $v$ sont $C^2$.
$\Omega$ est un ouvert borné régulier de $\mathbb{R}^2$.
On utilise la norme $H^1$.

J'ai montré que a est coercive de constante 1 en utilisant la forme suivante de a:

\[a(u,v) = \int_{\Omega} \nabla u \nabla v
+ (\frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2})^2
+ \int_{\Omega} uv dx
+ \int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u) \gamma_0 (v) d \sigma
\]

Le problème est que pour la continuité, je ne sais pas majorer en $||u||_{H^1} ||v||_{H^1}$ les termes :

$ \int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u) \gamma_0 (v) d \sigma$ et $(\frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2})^2$.

gb · January 2014

J'y perds mon latin...

Prouver que $a$ est coercive, c'est établir une inégalité de la forme : $a(u,u) \geqslant C \Vert u \rVert^2_{H^1}$.

Pourquoi s'enquiquiner à conserver $v$ ? Pourquoi chercher à majorer ?

Je remarque que :
\[a(u,u) = \int_{\Omega} 2\left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x_1} \right)^2 + \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial u}{\partial x_2} + \left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)^2 \right] dx + \int_{\Omega} u^2 \,dx + \int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u)^2 \,d\sigma.\]

Le plus simplement du monde :
\[2(x^2 + xy + y^2) = x^2+y^2 + (x+y)^2 \geqslant x^2+y^2\]
qui fournit, en ce qui nous concerne :
\[2\left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x_1} \right)^2 + \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial u}{\partial x_2} + \left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)^2 \right] \geqslant \left(\frac{\partial u}{\partial x_1} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)^2\]
donc :
\[\int_{\Omega} 2\left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x_1} \right)^2 + \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial u}{\partial x_2} + \left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)^2 \right] dx + \int_{\Omega} u^2 \,dx \geqslant \Vert u \rVert^2_{H^1}.\]

Il reste à s'occuper des traces.

xavierdestev · January 2014

Merci.
Mon message ne devait pas être clair, mais j'ai fait de la même manière que toi pour la coercivité.
$\int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u)^2 d \sigma \geq 0$ ce qui règle le problème des traces pour la coercivité.
En fait, le problème portait sur la continuité. C'est-à-dire que je veux montrer l'inégalité $|a(u,v)| \leq C ||u||_{H^1} ||v||_{H^1}$.
Je parlais de la majoration de : \[ \Big|\int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u) \gamma_0 (v) d \sigma\Big| \quad\text{et de}\quad \bigg| \int_{\Omega} \Big(\frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2}\Big)^2\bigg| \] ou la forme que donnée plus haut, c'est-à-dire : \[ \bigg|\int_{\Omega} \bigg(2 \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_1}
+ \frac{\partial u}{\partial x_1} \frac{\partial v}{\partial x_2}
+ 2 \frac{\partial u}{\partial x_2} \frac{\partial v}{\partial x_2}\bigg) dx \bigg| \]

O.G.5 · January 2014

Il suffit de se lancer.

O.G.

gb · January 2014

M'enfin, en utilisant le produit scalaire de $L^2(\Omega)$ ou de $L^2(\partial\Omega)$ :
\begin{multline*}
a(u,v) = 2 \left\langle \frac{\partial u}{\partial x_1} \middle\vert \frac{\partial v}{\partial x_1} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial u}{\partial x_2} \middle\vert \frac{\partial v}{\partial x_1} \right\rangle + \left\langle \frac{\partial u}{\partial x_1} \middle\vert \frac{\partial v}{\partial x_2} \right\rangle + 2 \left\langle \frac{\partial u}{\partial x_2} \middle\vert \frac{\partial v}{\partial x_2} \right\rangle \\
\vphantom{\frac{\partial u}{\partial x_1}} + \left\langle u \vert v \rangle + \langle \gamma_0 (u) \vert \gamma_0 (v) \rangle
\end{multline*}
ce qui fournit la majoration :
\begin{multline*}
\lvert a(u,v) \rvert \leqslant 2 \left\lVert \frac{\partial u}{\partial x_1} \right \rVert_{L^2} \left\lVert \frac{\partial v}{\partial x_1} \right\rVert_{L^2} + \left\lVert \frac{\partial u}{\partial x_2} \right \rVert_{L^2} \left\lVert \frac{\partial v}{\partial x_1} \right\rVert_{L^2} + \left\lVert \frac{\partial u}{\partial x_1} \right \rVert_{L^2} \left\lVert \frac{\partial v}{\partial x_2} \right\rVert_{L^2} + 2 \left\lVert \frac{\partial u}{\partial x_2} \right \rVert_{L^2} \left\lVert \frac{\partial v}{\partial x_2} \right\rVert_{L^2} \\
\vphantom{\frac{\partial u}{\partial x_1}} + \left\lVert u \rVert_{L^2} \lVert v \rVert_{L^2} + \lVert \gamma_0 (u) \rVert_{L^2} \lVert \gamma_0 (v) \rVert_{L^2}
\end{multline*}
Et toutes ces normes $L^2$ sont inférieures à $\left\lVert u \rVert_{H^1}$ ou $ \lVert v \rVert_{H^1}$ suivant le cas.

xavierdestev · January 2014

Je savais qu'on peut utiliser Cauchy-Schwartz de cette manière mais je ne vois pas de majoration de
$\left\lVert \dfrac{\partial u}{\partial x_1} \right \rVert_{L^2}$ ni de $\big\lVert \gamma_0 (u) \big\rVert_{L^2}$

gb · January 2014

Peux tu rappeler la définition de $\lVert u \rVert_{H^1}$ ?

xavierdestev · January 2014

Merci.
$||u||_{H^1} = \int_{\Omega} u^2 + (\nabla u)^2 dx$.

Ce qui sécrit aussi :

$||u||_{H^1} = \int_{\Omega} u^2 + \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} dx$.

J'ai compris que $\left\lVert \frac{\partial u}{\partial x_1} \right \rVert_{L^2} \leq ||u||_{H^1}$.

Mais je ne vois pas pour la majoration de $\lVert \gamma_0 (u) \rVert_{L^2}$.

gb · January 2014

Toutes ces {\it sobolèveries} sont bien loin dans ma mémoire, mais, si $\Omega$ est lipschitzien, on établit des inégalités entre la norme de la trace $\gamma_0(u)$ dans $L^2(\partial \Omega)$ et la norme de $u$ dans $H^1(\Omega)$.
Tu devrais avoir ces résultats dans ton cours.

xavierdestev · February 2014

Je pense que ça a rapport au résultat suivant de mon cours.

Soit $\Omega$ un ouvert lipschitzien et $u\in H^1(\Omega)$ alors on a : $$\int_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial x_i} dx = \int_{\partial \Omega} \gamma_0 (u) n_i d\Gamma$$ Mais je ne vois pas bien le rapport.

gb · February 2014

Ce serait plutôt en rapport avec ce théorème de trace.

xavierdestev · February 2014

J'ai revu dans un cours polycopié de M2 le fait que $||\gamma_0 u||_{L^2} \leq C ||u||_{H^1}$ avec comme commentaire que cette inégalité est facile à montrer sur $\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}$.

Merci beaucoup pour votre aide.

forme coercive et continue

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