estimation d'erreur

xavierdestev · January 2014

Bonjour,

Soit $u\in H^2([0,1])$ et $u_h \in \{ v_h \in C^0 ([0,1]) ,\quad v_{h| [x_i, x_{i+1}]} \}$.

Montrer que $u_h$ tend vers $u$ en norme $H^1$ quand $h$ tend vers $0$.

Merci d'avance.

J0ke · January 2014

Hello,

Il manque un truc non ?

xavierdestev · January 2014

En général, j'ai l'impression qu'on utilise plutôt $u\in C^2([0,1])$ mais je pense que c'est faisable avec $u\in H^2([0,1])$.

J0ke · January 2014

Je disais juste que ton énoncé ne veut rien dire en fait...

xavierdestev · January 2014

Bon si je le reformule, on a:

Soit $u\in H^2 ([0,1])$.

Montrer que $||u-u_h||_{H^1} \leq Ch$ avec $h$ le pas du maillage uniforme sur $[0,1]$ et $u_h$ est l'interpolé linéaire de $u$ aux points $x_i$.

xavierdestev · January 2014

J’essaye de redémontrer ce résultat fondamental sans utiliser le théorème de Rolle, que je vois dans presque toutes les preuves (Brigitte Lucquin, ...) et sans supposer que $u\in C^2$ mais seulement $u\in H^2$. \begin{align*}
||u - u_h||_{H^1} & =\int_0^1 (u-u_h)^2 + (u' - u'_h)^2 dx \\
& = \sum_{i=0}^{N-1} \int_{x_i}^{x_{i+1}} (u-u_h)^2 + (u' - u'_h)^2 dx
\end{align*} Il suffit d'étudier sur $[x_i, x_{i+1}]$
$u(x) = u(x_i) + h u' (x_i) + \int_0^x u^2 (x) h^2 dt$
D'autre part, l'interpolé $u_h$ est \quad $u_h (x) = \frac{u(x_{i+1}) - u(x_i)}{x_{i+1} - x_i} (x-x_i) + u(x_i)$
A partir de la, je ne vois pas trop comment faire.

estimation d'erreur

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