Inégalité discrète, forme bilinéaire

xavierdestev
xavierdestev
dans Analyse
Bonjour

Soit $\displaystyle a_h (U, U) = \frac{4h}{3} \sum_j \Big(\frac{u_{j+1} -u_j}{h}\Big)^2 - \frac{h}{3} \sum_j \Big(\frac{u_{j+2} - u_j}{2h}\Big)^2$
Montrer que $\displaystyle a_h (U, U) \geq h \sum_j \Big(\frac{u_{j+1} - u_j}{h}\Big)^2$
Merci d'avance.

Réponses

  • P5
    P5
    Pourrais tu préciser ce qu'est la suite $(u_j)?$ Finie, infinie indexée par $\mathbb{N}$, infinie indexée par $\mathbb{Z}?$,Pourrais tu préciser les sommations indiquées? Et enfin, fiche nous en l'air cet $h$ qui ne sert à rien et remplace le par 1 ou 3 par exemple.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Oui $(u_j)_{j\in\mathbb{Z}}$, les sommations indiquées sont sur $\mathbb{Z}$.
    Il est suffisant de montrer que : $\displaystyle \sum_{j\in\mathbb{Z}} \Big(\frac{u_{j+1} -u_j}{h}\Big)^2 \geq \sum_{j\in\mathbb{Z}} \Big(\frac{u_{j+2} -u_j}{h}\Big)^2$
  • gb
    gb
    Et il suffit même de prouver que :
    \[\sum_{j\in\mathbf{Z}} (u_{j+1} -u_j)^2 \geqslant \sum_{j\in\mathbf{Z}} (u_{j+2} -u_j)^2.\]
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Et si on développe, on devrait avoir :

    $ -2 \sum_{j\in\mathbb{Z}} u_j u_{j+1} \geq -2 \sum_{j\in\mathbb{Z}} u_j u_{j+2} $

    Soit $\sum_{j\in\mathbb{Z}} u_j u_{j+1} \leq \sum_{j\in\mathbb{Z}} u_j u_{j+2} $.
  • P5
    P5
    ...ce qui est fort douteux. En effet si $v_j=u_{j+1}-u_j$ supposons $\sum_{j\in \mathbb{Z}}v_j^2<\infty.$ L'inégalité demandée est équivalente à
    $\sum_{j\in \mathbb{Z}}v_j^2+2\sum_{j\in \mathbb{Z}}v_jv_{j+1}\leq 0$, ce qui est copieusement faux (exemple $v_{n}=1/|n|$ pour $n$ impair et $v_n=0$ pour $n$ pair).
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Mais alors si on n'a pa le droit de développer, je ne vois pas comment on pourrais faire.

    Si on prend $j$ impair, on a :
    Soit $\sum_{j\in2\mathbb{Z}+1} u_j u_{j+1} = 0 \leq \sum_{j\in2\mathbb{Z}+1} u_j u_{j+2} = \sum_{j\in2\mathbb{Z}+1} \frac{1}{|n|^2}$.

    On n'a pas de contracdiction.
  • P5
    P5
    Hé, faut lire. $v_j=u_{j+1}-u_j.$
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Désolé j'avais mal compris.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    En fait, il faut prouver que : \[\sum_{j\in\mathbf{Z}} (u_{j+1} -u_j)^2 \geqslant \sum_{j\in\mathbf{Z}} \Big(\frac{u_{j+2} -u_j}{2}\Big)^2. \]
  • P5
    P5
    Ca au moins c'est vrai, et si tu posais $v_j=u_{j+1}-u_j$ comme tu t'obstines à ne pas le faire...
  • xavierdestev
    xavierdestev
    On pose $v_j = u_{j+1} - u_j$.

    On obtient que :

    $\frac{1}{2} \sum_j (v_j)^2 - \frac{1}{2} \sum_j v_j v_{j+1} \geq 0$

    D'ou l'on tire $\frac{1}{4} \sum_j (v_{j+1} - v_j)^2 \geq 0$.

    D'ou le résultat.

    Merci beaucoup P.
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