dérivée distribution

dh8
dh8
dans Analyse
Bonsoir,

J'ai la question suivante: soit $u \in \mathcal{D'}(\mathbb{R}^2)$ définie par $\displaystyle u(\varphi)=\int_\mathbb{R} \varphi(x,x) dx$.
Comment calculer $\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}$ ?
Merci pour l'aide.

[Pour que la discussion reste compréhensible, j'ai rétabli la question initiale. AD]

Réponses

  • Pablo_0
    Pablo_0
    Bonsoir,

    Je pense qu'il faut proceder ainsi :
    $ \forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^2 ) $ :
    $$ \Big\langle \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} , \varphi \Big\rangle = \Big\langle \dfrac{\partial u}{\partial x} , \varphi \Big\rangle + \Big\langle \dfrac{\partial u}{\partial y} , \varphi \Big\rangle = - \Big\langle u , \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} \Big\rangle - \Big\langle u , \dfrac{\partial \varphi }{\partial y} \Big\rangle = \dots $$

    Cordialement.
  • dh8
    dh8
    okay, c'est juste l'application de la définition. En utilisant la définition de $u$, ca donne $$\langle u,\dfrac{\varphi}{\partial y}\rangle = \displaystyle\int \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,x) dx$$ et ca vaut quoi?
  • Pablo_0
    Pablo_0
    ça, je ne sais pas, je laisse les autres t'aider. :)
    Toutes mes excuses. :)
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Il suffit effectivement de suivre les indications de Pablo, sans faire d'erreur de signe en recopiant.

    Un bon choix de notation peut éviter la confusion entre les variables par rapport auxquelles on calcule les dérivées partielles et la variable par rapport à laquelle on intègre. Pour \(\varphi\) dans \(\mathcal{D}(\mathbf{R}^2)\) :
    \[\left\langle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} , \varphi \right\rangle = \dots = - \left\langle u , \frac{\partial \varphi }{\partial x} + \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right\rangle = - \int_{\mathbf{R}} \left( \frac{\partial \varphi }{\partial x}(t,t) + \frac{\partial \varphi }{\partial y}(t,t) \right) dt.\]

    Il reste alors à déterminer une primitive de la fonction : \(t \mapsto \dfrac{\partial \varphi }{\partial x}(t,t) + \dfrac{\partial \varphi }{\partial y}(t,t) \).
  • Pablo_0
    Pablo_0
    En fait, voiçi comment je vois les choses :
    $ \Big\langle \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} , \varphi \Big\rangle = - \Big\langle u , \dfrac{\partial \varphi }{\partial x} + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \Big\rangle = - \displaystyle \int_\mathbb{R} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x } (t,t) + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (t,t) \ dt $
    $ = - \displaystyle \int_\mathbb{R} \Big( \dfrac{\partial \varphi}{\partial x } (x(t),y(t)) \ x'(t) + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x(t),y(t)) \ y'(t) \Big) \ dt $
    $ = - \displaystyle \int_{\mathbb{R}} \dfrac{d}{dt} \varphi (x(t),y(t)) \ dt $
    avec $ \begin{cases} x(t) = t \\ y(t) = t \end{cases} $

    Est ce que c'est correct ? Attend, ce n'est pas sûr, mais, c'est aux autres de me corriger.

    Cordialement.
  • dh8
    dh8
    une primitive de $\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}(t,t)+\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(t,t)$ est $\varphi(x,y)$ tout simplement.
  • gb
    gb
    Non, car la primitive est une fonction d'une seule variable.

    La dernière réponse de Pablo est nettement plus rigoureuse.
  • Pablo_0
    Pablo_0
    Je vais peut être dire une bêtise :
    $ \dots = - \displaystyle \int_{\mathbb{R}} \dfrac{d}{dt} \varphi \big(x(t),y(t)\big) \ dt = \Big[ \varphi \big(x(t),y(t)\big) \times \mathbf 1_{ (x,y)^{-1} ( \mathrm{supp\,} \varphi ) } \Big]_{- \infty}^{+ \infty} = \Big[ \varphi \big(x(t),y(t)\big) \times \mathbf 1_{ (x,y)^{-1} ( [a,b] \times [c,d] ) } \Big]_{- \infty}^{+ \infty} $
    Cordialement.
  • dh8
    dh8
    Je ne comprends pas.
    $-\displaystyle\int_{\R} (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (t,t) + \dfrac{\partial \varphi}{\partial t}(t,t))dt= -\displaystyle\int_{\R} (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x(t),y(t)) x'(t) + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x(t),y(t)) y'(t) dt$
    pourquoi cette égalité? si on avait $\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}$, dans ce cas là il est possible de l'écrire par $\dfrac{\partial \varphi}{\partial t} \dfrac{\partial x(t)}{\partial t}$ là je ne comprends pas pourquoi cette écriture.
    Enfin, en utilisant l'intégration par parties,
    $$-\displaystyle\int_{\R} \dfrac{d}{dt}\varphi(x(t),y(t)) dt = [\varphi(x(t),y(t))]_{-\infty}^{+\infty}$$
    comme $x(t)=t$ et $y(t)=t$, et comme $\varphi$ est à support compact, ca nous donne 0.
    $$\langle \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y} , \varphi \rangle = 0$$

    Il n'empeche que je ne comprends pas la première étape du changement de variable et l'introduction de $x'(t)$.
    Merci pour l'aide.
  • gb
    gb
    C'est la règle de la chaîne pour dériver des fonctions composées.

    Si \(F(t) = f\bigl((x(t),y(t)\bigr)\), alors :
    \[\frac{dF}{dt}(t) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigl((x(t),y(t)\bigr) \frac{dx}{dt}(t) + \frac{\partial f}{\partial y}\bigl((x(t),y(t)\bigr) \frac{dy}{dt}(t)\]
    avec des dérivées ordinaires, notées avec des «\(d\)», et des dérivées partielles, notées avec des «\(\partial\)».

    Avec les notations de l'exercice : \(\dfrac{\partial \varphi}{\partial t}\) n'a aucun sens.

    Sinon, le résultat final est correct: la distribution \(\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y}\) est nulle.
  • dh8
    dh8
    Okay, pardon je ne comprend toujours pas ce point. On a $$-\displaystyle\int_{\R} (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y})(t,t) dt$$
    on n'a pas une fonction de la forme $f(x(t),y(t))$, pourquoi on cherche à l'écrire par $-\displaystyle\int_{\R} (\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (x(t),y(t)) x'(t) + \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x(t),y(t)) y'(t) dt$?
    Merci pour l'aide.
  • gb
    gb
    On cherche une écriture à partir de laquelle on puisse reconnaître une dérivée usuelle \(\dfrac{dF}{dt}\) afin de calculer l'intégrale à l'aide de \(F\).
  • dh8
    dh8
    Et on fait ça en posant $x(t)=t$ et $y(t)=t$ ?
  • gb
    gb
    Oui, la dérivée de \(F\colon t \mapsto f(t,t)\) est \(\dfrac{dF}{dt} \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(t,t) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(t,t)\).
    C'est bien en vue de la dérivation de cette fonction composée que j'ai signalé l'importance de choisir des notations convenables.
    Je ne vois pas où est le problème, d'autant que tu as eu de bonnes indications de Pablo.
  • dh8
    dh8
    Je ne comprenais pas le pourquoi du comment, mais maintenant tout est rentré dans l'ordre.
    Merci beaucoup à gb et à Pablo pour votre aide.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    C'est agaçant les gens qui effacent leur premier message, du coup on perd le fil de la discussion et les autres ne peuvent pas en profiter.

    C'est un peu contre le principe du forum.

    [j'ai rétabli la question initiale. AD]

    @AD, merci beaucoup.
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