Eléments finis

Bonjour,

Soit $T$ un triangle de sommet $S^i$ pour $i=1,2,3$. On note $H^i$ la projection orthogonale de $S^i$ sur le coté opposé du triangle, $h_i = ||H^i S^i||$ la hauteur correspondante. Soient $\lambda_i,\ i = 1,2,3$ les coordonnées barycentriques associés au triangle T.

1) Rappeler pourquoi la famille $ \{\lambda_1^2,\ \lambda_2^2,\ \lambda_3^2,\ \lambda_1 \lambda_2,\ \lambda_2 \lambda_3,\ \lambda_1 \lambda_3\}$ forme une base de $P^2$

2) Montrer que $h_i^2 \mathrm{grad}(\lambda_i) = \overrightarrow{H^i S^i}$ en tout point du triangle $T$. En déduire les gradients des fonctions de la base exhibée en $1$.

3) Les coordonnées du plan sont notés $(x, y) \in \mathbb{R}^2$. Soit $p $ un polynôme quelconque de $P_2$. Pour $i=1,2,3$ on introduit les trois formes linéaires $\phi_i (p) = p(S_^i)$ et les trois formes linéaire $\psi_i (p) = \frac{\partial p}{\partial y} (S^i)$.
Montrer que l'élément fini $(T,\ P_2,\ \{\phi_i,\ \psi_i\}_{i=1,2,3})$ est unisolvant si et seulement si aucun des cotés de $T$ n'est parallèle à l'axe vertical $(0y)$.

Pour 1, je ne comprends pas trop la démo de mon poly:
Les produits des $\lambda_j$ deux à deux sont des polynômes de degré deux.
Il nous faut donc montrer que ces 6 fonctions sont linéairement indépendantes.
Et aussi le fait que $\lambda_j$ soit linéaire.

Si vous pouviez me donner des indications sur ce qu'il faut faire pour le reste car je suis un peu perdu.
(J'ai le livre de Brigitte Lucquin à côté de moi...)
Merci d'avance.