Problème variationnel

Salut,
Soient $\Omega$ un ouvert borné de $\R^n$ de frontière $\Gamma$ et $f\in L^2(\Omega)$.
Considérons pour tout $\varepsilon >0$ le problème aux limites:
$$ (P_\varepsilon) \begin{cases} \ \ -\varepsilon\Delta u+u=f , dans\Omega\\ u=0 \hspace{2cm} sur\Gamma\end{cases}$$.
$(1)$ montrer que $(P_\varepsilon)$ admet une solution unique$u_\varepsilon$ en précisant l'espace$V$ des solutions avec la norme utilisée.En déduire l'estimation :
$\mid u_\varepsilon\mid_{1,\Omega}=\parallel\nabla u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq \frac{1}{\varepsilon}\parallel f \parallel_{0,\Omega}$.
$(2)$ Utiliser la norme $\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}+\mid u_\varepsilon\mid_{1,\Omega} $ sur l'espace $V$ des solutions pour montrer l'estimation :
$\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega}$.
$(3)$ Montrer que $u_\varepsilon$ tend vers $f$ dans $L^2(\Omega)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers$0$.
Pour la première question j'ai utilisé Lax-Milgram et l'espace $V=H^1_0$ j'ai obtenu le resultat.
Pour la deuxième: est-ce -qu'on peut faire comme suit
$\parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega} - \parallel\nabla u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega} -\frac{1}{\varepsilon}\parallel f \parallel_{0,\Omega}$
$ \Rightarrow \parallel u_\varepsilon\parallel_{0,\Omega}\leq\parallel f \parallel_{0,\Omega}$.
La troisième je n'ai pas trouvé la solution.
Merci.