coercivité Lax-Milgram

xavierdestev
xavierdestev
dans Analyse
Bonjour,

On suppose $\alpha \geq |\beta|$
Montrer que la forme bilinéaire

$a(u, v) = \int_0^1 u'(x) v'(x) + c u(x) v(x) dx + \alpha [u(0) v(0) + u(1) v(1)] + \beta [u(0) v(1) + u(1) v(0)] $

est coercive.

Réponses

  • kazeriahm
    kazeriahm
    Aucune condition sur sur $c$ ?

    Qu'as-tu fait ?
  • xavierdestev
    xavierdestev
    $c>0$

    J'ai fait :

    $\int_0^1 u'(x)^2 + c u(x)^2 dx \geq \min (1,c) || u ||^2_{H^1}$.
  • zorg690
    zorg690
    Bonsoir,

    Sur quel espace travaille-t-on? Je dis çà par rapport aux conditions aux limites
  • xavierdestev
    xavierdestev
    $u\in H^2$
    et les conditions aux limites sont:

    $-u'(0) + \alpha u(0) + \beta u(1) = 0$
    $u'(1) + \alpha u(1) + \beta u(0) = 0$
  • O.G.5
    O.G.5
    $ab\leq a^2/2 + b^2/2$

    O.G.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Alors $u(0) v(0) \leq \frac{u(0)^2}{2} + \frac{v(0)^2}{2}$.

    En fait, je vois pas de ab ici vu que j'étudies $a(u,u)$.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Mais tu peux majorer u(0) pour faire apparaître des termes volumiques.
  • O.G.5
    O.G.5
    $u(0)u(1)\leq \cdots$

    O.G.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Merci O.G,

    Si je fais

    $\alpha (u(0)^2 + u(1)^2) \geq 2 \alpha u(0) u(1)$

    J'obtient

    $a(u,u) \geq ... + (2 \alpha+ 2 \beta) u(0) u(1)$

    Je rappel :

    $a(u, u) = \int_0^1 u'(x)^2 + c u(x)^2 dx + \alpha [u(0)^2 + u(1)^2] + 2 \beta [u(0) u(1)] $.

    Par ailleurs, je remarque que :

    $(\int_0^1 u'(x) dx)^2 = (u(1)-u(0))^2 = u(1)^2 + u(0)^2 - 2 u(1) u(0)$
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Je suis ce fil depuis quelque temps, et je n'ai toujours pas compris où était le problème qui fait couler autant d'encre.
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Bonjour gb,

    Il faut encore que je prouve que $u(0) u(1) \geq C || u ||^2_{H¹}$ pour finaliser la démonstration.
    (D'après l'hypothèse, je sais que $2\alpha + 2\beta >0$)

    La définition de la coercivité est $a(u, u) \geq D || u ||^2_{H¹}$
  • gb
    gb
    M'enfin :
    \[\alpha \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1) \geqslant \lvert \beta \rvert \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1)\]
    et en notant \(\varepsilon = \pm 1\) le signe de \(\beta\) :
    \[\alpha \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 \bigr) + 2 \beta u(0)u(1) \geqslant \lvert \beta \rvert \bigl( u(0)^2 + u(1)^2 + 2 \varepsilon u(0)u(1) \bigr) = \lvert \beta \rvert \bigl( u(0) + \varepsilon u(1) \bigr)^2 \geqslant 0\]
    et finalement :
    \[ a(u,u) \geqslant \min (1,c) \lVert u \rVert^2_{H^1}
  • zorg690
    zorg690
    Amen!
  • xavierdestev
    xavierdestev
    Merci beaucoup.
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