exp(x+logn)

spayt0 · January 2014

Salut à tous,
Quelqu'un peut il m'expliquer le resultat suivant:
exp(x + log n) = exp(-x) / n

Merci d'avance

Fin de partie · January 2014

Il n'y a rien à expliquer ton résultat est faux.

$x=1$
$n=1$

Donc $\exp(x + \log n)=\exp(1+\log(1))=\exp(1+0)=\exp(1)=e$

or:

$\dfrac{\exp(-x)}{ n}=\dfrac{\exp(-1)}{1}=\exp(-1)$

$\exp(-1)=\dfrac{1}{e}$ n'est pas égal à $e$

Mais on a l'égalité pour tout $x$ et pour $n>0$:
$\exp(x + \log n)=\exp(x)\exp(\log(n))=n\exp(x)$

spayt1 · January 2014

Ce n'est pas mon résultat, puis ça m'étonnerait qu'il soit faux vu que c'est une démonstration tirée d'un livre, en fait la démonstration la voici.
On a la fonction de répartition d'une variable exponentielle $x$, $F(x)=1-\exp(-x),\ x>0$
En posant $a_n = 1$ et $b_n = \log n$ alors on a \begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\big[F(a_nx + b_n)\big]^n & = \lim_{n\rightarrow\infty}\big[1 - \exp(x+\log n)\big]^n\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\Big(1 - \frac{\exp(-x)}{n}\Big)^n\\
&=\exp\big(-\exp(-x)\big)
\end{align*}

JLT · January 2014

Les livres sont écrits par des êtres humains, qui commettent parfois des fautes de signe.

jean lismonde · January 2014

bonjour

tes résultats sont incohérents, en particulier la seconde ligne de ton précédent message

il serait bon que tu reprennes ton cours sur les propriétés de la fonction exponentielle

de façon à les appliquer correctement à la fonction de répartition d'une variable aléatoire exponentielle

bonne journée

gerard0 · January 2014

Bonjour.

C'est une simple erreur de signe. Il aurait fallu que soit écrit :
$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[F(a_nx + b_n)\right]^n = \lim_{n\rightarrow\infty}\left[1 - \exp(-x-\log n)\right]^n$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}(1 - \frac{\exp(-x)}{n})^n$
Ce qui est correct. Car $F(x)=1-\exp(-x),\ x>0$

J'imagine qu'il s'agit de grandes déviations ?
Cordialement.

spayt1 · January 2014

Mais ce que j'aimerais comprendre c'est comment on passe de :
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\big(1-\exp(-x - \log n)\big)^n$ à $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Big(1-\dfrac{\exp(-x)}{n}\Big)^n$

JLT · January 2014

Utiliser : $\exp(a-b)=\dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}$ et $\exp(\log x) = x$.

spayt0 · January 2014

Merci JLT

breukin · January 2014

$ \displaystyle \exp(a+b) = \exp(a) \exp(b) $ est quand même du niveau terminale, donc la question "Mais ce que j'aimerais comprendre c'est comment on passe de" est quand même très surprenante et n'aurait jamais dû être posée.

gb · January 2014

Sauf si l'on est pas en Terminale...

exp(x+logn)

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