Ordre et corps

Quelques miettes d'Algèbre ...
Un corps totalement ordonné archimédien est nécessairement commutatif et isomorphe à un sous-corps de $\R$.
Des corps commutatifs totalement ordonnés n'ont aucune raison d'être isomorphes. Il me semble avoir signalé ici qu'on peut concevoir un corps commutatif muni de deux structures d'ordre qui en font un corps ordonné, l'ine archimédienne et l'autre non.
Bonne soirée.
RC

Et $\R$ est un corps totalement ordonné archimédien maximal (i. e. il n'y a pas de surcorps totalement ordonné archimédien strict de $\R$ ) (axiomes de Hilbert)

@ Rolf Orbeterre
La référence à Hilbert est très pertinente sur cette question, puisque la nature du corps des réels est essentielle pour les propriétés de la géométrie sur ce corps, et si mes souvenirs sont exacts, les Grundlagen comportent nombre de propositions très intéressantes sur les corps . Dans mon avant-dernier message, j'ai donné un énoncé qui équivaut au fait que $\R$ est un corps totalement ordonné archimédien maximal.

@Paul Crion
Quand tu dis que tu veux une structure de corps sur $\R^2$, il faut préciser ce que tu veux imposer. On pourrait te répondre bêtement que comme $\R^2$ est équipotent à $\R$, tu pourrais munir $\R^2$ d'une structure de corps isomorphe à $\R$ par transport de structure. Mais ce n'est sans doute pas ce que tu envisages ...

Bonne soirée.
RC

Vu que $\R^2$ peut être mis en bijection avec $\R$, on peut transporter les opérations et l'ordre sur $\R$ au moyen de cette bijection pour obtenir sur $\R^2$ deux opérations et un ordre qui en font un corps, totalement ordonné, archimédien. (Déjà dit par RC, j'essaie d'expliciter).
Tu peux même demander que l'addition soit bien l'addition naturelle sur $\R^2$, puisque $\R^2$ est isomorphe à $\R$ en tant que groupe additif.

Je n'avais pas vu le message de Zo! et je n'avais pas pensé à utiliser le fait que $\R^2$ est isomorphe à $\R$ en tant que groupe additif.
Mais attention, ceci n'utilise-t-il pas L'Axiome Du Choix ? Les inspecteurs de la maison DuChoix sont-ils en vacances de Noël, ou bien sont -ils tout entièrement occupés à savoir "comment comprendre/voir les maths ?". Enfin, pendant ce temps on est tranquilles ...
J'ai donc écrit une bêtise, je le pressentais car je ne suis pas très calé en Algèbre, au contraire de Zo! .
Il faut sans doute chercher les structures de $\R$-algèbre sur $\R^2$.
Je vais regarder ça, ça me forcera à faire de l'Algèbre, c'est pas du luxe car je suis vraiment rouillé.
Bonne soirée.
RC

@Professeur Rectangle
Bien sûr, je voulais dire que tout $\Q$-espace vectoriel équipotent à $\R$ est de dimension $card(\R)$, et se trouve donc isomorphe à $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel et donc en particulier en tant que groupe additif. Naïf, je ne voyais comme intervention de Du Choix dans cette affaire que l'existence d'une base pour tout espace vectoriel, sur qui l'on nous a cassé les pieds maintes fois, et tu nous en sers deux autres, bravo !
Bonne nuit.
RC

Merci Foys de nous rappeler ces mathématiques fantasmagoriques où tout est mesurable, mais où l'on rencontre des espaces vectoriels qui n'ont pas de bases, les pauvres. Cela me manquait. Mais je n'ai toujours pas compris ce qu'on peut en faire ...
Bonne journée.
30/12/2013
St Roger

J'ai vraiment été impressionné de constater, suite au message de Zo!, que l'on peut munir $\R^2$ d'une multiplication qui en fait, avec son addition usuelle, un corps isomorphe à $\R$, avec un argument des plus simples, mais qui m'avait échappé, à mon grand dam.
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Une question intéressant me semble de voir comment munir le $\R$-espace vectoriel $\R^2$ d'une multiplication interne qui en fasse une $\R$-algèbre associative unitaire (unifère). L'élement-unité de cette $\R$-algèbre $\R^2$ est $U \in \R^2$ tel que : $\forall X\in \R^{2},UX=XU=X$. Il existe $V \in \R^2$ tel que : $(U,V)$ est une base de $ \R^2$, et il existe donc deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : $V^{2}=\alpha U+\beta V$.
Cette égalité s'écrit : $(2V-\beta U)^{2}-(\beta ^{2}+4\alpha )U=0$ (*).
On distingue trois cas selon le nombre de solutions réelles de l'équation trinôme : $x^{2}-\beta x-\alpha =0$, dont le discriminant est : $\delta =\beta ^{2}+4\alpha $.

$\bullet $ Si $\delta <0 $, alors l'égalité (*) devient : $(\frac{1}{\sqrt{-\beta ^{2}-4\alpha }}(2V-\beta U))^{2}=-U$.
Si l'on pose : $W=\frac{1}{\sqrt{-\beta ^{2}-4\alpha }}(2V-\beta U)$, alors $(U,W)$ est une base de $ \R^2$, et il vient : $\R^{2}=\{xU+yW|x\in \R,y\in \R\}$. Comme $U$ est l'unité et que $W^{2}=-U$, on trouve exactement le corps des complexes.

$\bullet $ Si $\delta >0 $, alors l'égalité (*) devient : $(\frac{1}{\sqrt{\beta ^{2}+4\alpha }}(2V-\beta U))^{2}=U$.
Si l'on pose : $W=\frac{1}{\sqrt{\beta ^{2}+4\alpha }}(2V-\beta U)$, alors $(U,W)$ est une base de $ \R^2$, et il vient : $\R^{2}=\{xU+yW|x\in \R,y\in \R\}$. Comme $U$ est l'unité et que $W^{2}=U$, on trouve un anneau non intègre, dont la règle de multiplication n'est pas difficile à établir.

$\bullet $ Si $\delta =0 $, alors l'égalité (*) devient : $(2V-\beta U)^{2}=0$.
Si l'on pose : $W=2V-\beta U$, alors $(U,W)$ est une base de $ \R^2$, et il vient : $\R^{2}=\{xU+yW|x\in \R,y\in \R\}$. Comme $U$ est l'unité et que $W^{2}=0$, on trouve encore un anneau non intègre, dont la règle de multiplication n'est pas difficile à établir.

Tels sont les trois types de structure d'algèbre associative unifère qu'on peut trouver sur $ \R^2$. Le corps des complexes est la seule qui soit intègre. La commutativité n'est pas supposée, elle découle des hypothèses.

J'ai comme l'impression qu'on pourrait se passer de l'hypothèse "unifère", mais je ne vois pas comment le démontrer.

Notez que ceci pourrait contribuer aussi à un autre fil de discussion récent, qui demandait à peu près, si je me souviens bien pourquoi on prenait $i$ et non un autre complexe pour définir $\C$. Je n'arrive pas à le retrouver.

J'espère n'avoir pas écrit de bêtises, et j'accueillerai avec faveur toute critique justifiée.

Bonne soirée.
RC
30/12/2013
St Roger

Désolé, j'ai un petit désaccord avec Zo!, malgré le respect que je porte à son indéniable compétence. On fait sans cesse des math avec des objets dont on connaît l'existence mais qu'on ne sait pas construire effectivement, et sans problème. Je ne vois là rien d'inconfortable. Lui-même nous a fait un grand plaisir en nous montrant simplement qu'il existait sur $\R^2$ une structure de corps isomorphe à $\R$ avec l'addition usuelle. Mais que Paul Crion n'espère pas la voir en personne, cette structure.

Dans un article que j'avais fait pour "Quadrature", je comparais ces objets à des héros de roman, comme Solange Mignot ou Ferdinand Bardamu, qui existent d'une certaine manière, mais qu'on ne rencontrera jamais dans la rue ...

Considérez les géométries non-euclidiennes. Pendant des siècles, on a cru que le "postulat" d'Euclide pourrait être démontré. Legendre a été sans doute le dernier à donner des théorèmes très ingénieux qu'il croyait susceptibles d'approcher une telle démonstration. Des génies comme Bolyai et Lobatchevsky ont eu la force intellectuelle d'inverser ce postulat, et il en est résulté tout un pan de mathématiques vivantes et fécondes.

Par analogie, je re-redemande : où sont donc ces mathématiques fantastiques, où toutes les parties de $\R$ seraient mesurables, où toute fonction additive de $\R$ dans $\R$ serait continue, où certains espaces vectoriels n'auraient pas de base (lesquels, Mon Dieu) ? Quels théorèmes ont-elles produit ? Quelles questions ont-elles fait avancer ?

Continuons donc nos mathématiques, avec les théorèmes en vigueur dont nous tirerons librement tous les corollaires possibles. En même temps, que les logiciens continuent à développer librement leur discipline spécifique, qui est une part légitime des mathématiques, mais qui n'en est pas l'alpha et l'oméga.

Bonne soirée.
RC

Je veux ajouter à ma petite étude sur les algèbres possibles sur $\R^2$ que ces trois structures ont des applications géométriques, développées dans un beau livre d'Isaac M. Yaglom, Les nombres complexes et leurs applications en géométrie, Dunod 1966, ou bien : Complex Numbers in Geometry, Academic Press, 1968.

On peut montrer sans mal qu'il n'existe pas de structure de $\R$-algèbre intègre sur $\R^3$ ce qui a créé tant de soucis à Sir William Rowan Hamilton, et ces soucis surmontés lui ont valu l'admiration méritée de la postérité.

RC

Ok avec l'hypothèse de commutativité. Mais sans elle ?

Plus généralement, la propriété est vraie pour $\R^{n}$, $n$ impair, $n>1$. Moi je rédige somme suit.
Soit $A\in \R^{n}$ ; l'application : $X\mapsto AX$ est linéaire, c'est un endomorphisme du $\R$-espace vectoriel $\R^{n}$.
Suppposons $A\neq 0$. La $\R$-algèbre $\R^{n}$ étant supposée intègre, cette application $X\mapsto AX$ est injective, et c'est donc un automorphisme du $\R$-espace vectoriel $\R^{n}$.
Par suite, il existe $U\in \R^{n}$ tel que : $AU=A$. Alors, pour tout $X\in \R^{n}$, on a : $AUX=AX$, d'où $UX=X$ de par l'intégrité.
Soit $W\in \R^{n}$, alors l'endomorphisme $X\mapsto WX$ du $\R$-espace vectoriel $\R^{n}$ admet au moins une valeur propre réelle $\lambda $ car la dimension est impaire (TVI sur le polynôme caractéristique comme dit PB). Ce qui signifie qu'il existe $X\in \R^{n}$, $X\neq 0$ tel que : $WX=\lambda X$, soit : $WX=\lambda UX$, et l'intégrité permet de conclure : $W=\lambda U$, et notre algèbre se trouve de dimension 1.
C'est sans doute la même preuve que PB, simplement détaillée. J'avais posé ça en exo en Math Spé naguère. Il me semble qu'on n'utilise pas de commutativité.
La suite, c'est le beau théorème de Frobenius de 1877, qui établit le caractère exceptionnel du corps des complexes et du corps des quaternions ; mais c'est plus cher.
Bonne journée de Saint-Sylvestre.
RC