Théorème de Fermat

Voilà, j'étais en train de penser à conceptualiser la notion de nombre complexe, quand j'ai eu ce calcul : ou j'ai trouvé une preuve très élémentaire du théorème de Fermat ou il y a une faute de raisonnement, je vous fais part de ce calcul très simple :
L'équation de Fermat est
$z^n=x^n+y^n$
Posons
$u^n=\frac{z^n}{x^n},\quad{v^n=\frac{y^n}{x^n}},\quad{u'^n=\frac{z^n}{y^n}},\quad{v'^n=\frac{x^n}{y^n}}$
Nous avons
$u^n-v^n=1,\quad{u'^n-v'^n=1}$
Ou encore
$\frac{1}{v^n}=\frac{u^n}{v^n}-1,\quad{\frac{1}{v'^n}=\frac{u'^n}{v'^n}-1}$
Et
$\frac{1}{v}=\sqrt[n]{\frac{u^n}{v^n}-1}\in{\mathbb{Q}},\quad{\frac{1}{v'}=\sqrt[n]{\frac{u'^n}{v'^n}-1}\in{\mathbb{Q}}}$
$u$ et $v$ sont rationnels. Il vient
$\frac{1}{v}-\frac{1}{v'}=\sqrt[n]{\frac{u^n}{v^n}-1}-\sqrt[n]{\frac{u'^n}{v'^n}-1}$
$=\frac{\frac{u^n}{v^n}-\frac{u'^n}{v'^n}}{\frac{a}{b}}$
Où $\frac{a}{b}$ est un rationnel et $a$ et $b$ sont des entiers, ainsi
$\frac{1}{v}(1-\frac{\frac{u^n}{v^{n-1}}}{\frac{a}{b}})=\frac{1}{v'}(1-\frac{\frac{u'^n}{v'^{n-1}}}{\frac{a}{b}})$
Ou encore
$\frac{1}{v}(a-b\frac{u^n}{v^{n-1}})=\frac{1}{v'}(a-b\frac{u'^n}{v'^{n-1}})$
$=\frac{x}{y}(a-b\frac{z^n}{xy^{n-1}})=\frac{y}{x}(a-b\frac{z^n}{yx^{n-1}})$
Et
$x^2(ax^{n-1}y^{n-1}-bz^nx^{n-2})=y^2(ax^{n-1}y^{n-1}-bz^ny^{n-2})$
Or $x$ et $y$ sont premiers entre eux, nous avons nécessairement
$ax^{n-1}y^{n-1}-bz^nx^{n-2}=ax^{n-1}y^{n-1}-bz^ny^{n-2}=0$
Cette équation est définie pour $n\geq{2}$ et est toujours vérifiée pour $n=2$. Cela signifie que pour $n>2$, nous avons
$bx^{n-2}=by^{n-2}$
Il n'y a pas de solution sauf pour $b=0$ qui entraîne $xy=0$ ! S'il y a faute, je suis désolé pour le dérangement !

Réponses

  • Jamel_Ghanouchi écrivait:
    > Voilà, j'étais en train de penser à conceptualiser
    > la notion de nombre complexe, quand j'ai eu ce
    > calcul : ou j'ai trouvé une preuve très
    > élémentaire du théorème de Fermat ou il y a une
    > faute de raisonnement

    Il y a en fait une faute d'orthographe : c'est une preuve très élémentaire du théorème de Fermat il y a une faute de raisonnement :D
  • Oui, tenuki, je pense bien qu'il y a faute, mais laquelle ?
  • Je ne sais pas si elle est unique, mais déjà, pourquoi est-ce que $\frac{1}{v}$ serait rationnel ?

    [edit : ah si, en fait, 1/v est bien rationnel. Je passe à mon incompréhension suivante : pourquoi a et b existent-ils ?]
  • Pour qu'il y ait faute de raisonnement,

    il faut un raisonnement. or il n'y en a pas. Juste une affirmation : "Cela signifie que pour $ n>2$, il n'y a pas de solution !" Après avoir dit le contraire juste avant !

    Bon, Jamel, ça doit être la trentième fois que tu nous sers ce genre de calcul. Plusieurs fois tu nous a dit, après qu'on t'ai fait remarquer l'erreur, que tu l'avais fait exprès. Ne nous ressors pas ce couplet ici, c'est ridicule. Qu'il y ait erreur ou pas, il n'y a rien ... pas de démonstration
    Et très probablement des erreurs de calcul qu'on ne va pas chercher, puisque ça ne sert à rien.
  • tenuki, $v=\frac{y}{x}$ est rationnel de même que $v'=\frac{x}{y}$...
  • tenuki,
    $\frac{a}{b}=\sqrt[n]{(\frac{u^n}{v^n}-1)^{n-1}}+\sqrt[n]{(\frac{u^n}{v^n}-1)^{n-2}(\frac{u'^n}{v'^n}-1)}+...+\sqrt[n]{(\frac{u^n}{v^n}-1)(\frac{u'^n}{v'^n}-1)^{n-2}}+\sqrt[n]{(\frac{u'^n}{v'^n}-1)^{n-1}}$
    $=\frac{x^{n-1}}{y^{n-1}}+\frac{x^{n-2}y}{y^{n-2}x}+...+\frac{xy^{n-2}}{yx^{n-2}}+\frac{y^{n-1}}{x^{n-1}}$
    $=\frac{\frac{x^n}{y^n}-\frac{y^n}{x^n}}{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}=\frac{z^n(x^n-y^n)}{x^{n-1}y^{n-1}(x-y)}$
    Donc $a$ et $b$ existent, d'ailleurs $b=0$ signifie $xy=0$...
  • $\displaystyle{\frac{\text{voici comment écrire de}}{\text{jolies fractions bien lisibles}}}$ $\displaystyle{\frac{\frac{\text{même là}}{\text{c'est encore}}}{\frac{\text{plus lisible}}{\text{pour tous}}}}$

    -> displaystyle
  • Bonjour,
    Il y a un problème dans les formules : $$ u^n=\frac{z^n}{x^n},\quad{v^n=\frac{y^n}{x^n}},\quad{u'^n=\frac{z^n}{y^n}},\quad{v'^n=\frac{x^n}{y^n}}.$$ Il résulte de ces formules que $v^n.v^{tn}=1$. Qu'impose-t-on à $v$ et à $t$ ?

    tout ce qu'on peut dire à ce niveau est que $v^{1+t}$ est une racine $n$-ieme de l'unité.
    Si on est dans le champ réel, alors $t=-1$ et le calcul est cuit.
  • En fait, il suffit qu'il existe $p$ tel que
    $ax^{n-1}y^{n-1}=bz^cx^{n-2}+py^2=bz^cy^{n-2}+px^2$
    Soit
    $bx^{2n-2}+bx^{n-2}y^n-by^{2n-2}-by^{n-2}x^n=p(x^2-y^2)$
    $=(x^2-y^2)(bx^{2n-4}+bx^{2n-6}y^2+...+bx^2y^{2n-6}+by^{2n-4}-bx^{n-2}y^{n-2})$
    Ou encore
    $p=bx^{2n-4}+bx^{2n-6}y^2+...+bx^2y^{2n-6}+by^{2n-4}-bx^{n-2}y^{n-2}$
    Et il y a bien fausse alerte !
  • Cela sert à quoi d'avoir 180 de QI si c'est pour venir demander d'effectuer des additions pour toi? B-)
  • Tout cela me rappelle Djelloul Sebaa. Vous vous souvenez, Djelloul Sebaa?
  • Bonjour.

    Jamel_Ghanouchi écrivait:
    > ... j'ai trouvé une
    > preuve très élémentaire du théorème de Fermat ou il y a une
    > faute de raisonnement, ...

    XOR...

    Cordialement.
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