transformation de Fourier

Bonsoir :)
Pouvez vous m'aidez d'avoir la transformation de Fourier de
exp^(ikx)\(2+x^2)
au sens de distribution
SVP

Réponses

  • Je suppose que ta fonction est $ s(x)=e^{ikx}\dfrac{1}{2+x^2} $ si c'est le cas elle est dans $ L^1(\R)$ et il suffit de regarder le formulaire de la transformation de Fourier dans $ L^1(\R)$. http://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=fouriertransf
    $\displaystyle \frac{1}{2+x^2} =\frac {1}{2}\, \frac{1}{1+(\frac{x}{\sqrt 2})^2} $

    [Corrigé selon ton indication. AD]
  • merci infiniment de votre réponse
    exactement je sais bien que la transformation de Fourier de
    exp^(ikx)\(2+x^2)
    
    est tout simplement la convolution de transormation de Fourier de deux fonction c'est a dire
    F(exp^(ikx)\(2+x^2))=F(exp^(ikx)*F(1/(2+x^2))
    


    mais mon problème c'est que j'arrive pas a trouvée la transformation de Fourier de:
    1/(2+x^2)
    
    

    pouvez vous m'aidez SVP
  • Bonjour,

    Réponse de physicien : vous pouvez la calculer avec le théorème des résidus, tout comme la transformée de Fourier de départ.
    Mais li y a peut-être d'autres façons de faire.
  • sans passer par la convolution:


    on sait que la transformation de Fourier de $x\longrightarrow e^{-a\vert x\vert }$ est$ t\longrightarrow \frac {a }{t^2+a^2}$ (à une constante multiplicative près) et vu que cette dernière fonction est un élément de$ L^1(\R)$ , on peut déduire ce que tu cherche par inversion.

    puis tu appliques le résultat suivant : la transformation de Fourier de $x\longrightarrow e^{ikx }f(x)$ est$ t\longrightarrow \mathcal F (f)(t-k)$
  • bonjour

    pour obtenir les transformées de Fourier que tu souhaites
    tu pars de la laplacienne de $\frac{1}{a²+t²}$ soit avec $x>0$ et $a$ différent de $0$ :

    $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{a²+t²}dt = \frac{1}{a}[sin(ax).Ci(ax) + cos(ax).[\pi - Si(ax)]]$

    avec $Ci(ax)$ la fonction cosinus intégral et $Si(ax)$ la fonction sinus intégral

    si $x$ devient $ix$ alors $cos(iax) = ch(ax)$ et $sin(iax) = ish(ax)$

    avec $ch$ et $sh$ les fonctions cosinus et sinus hyperboliques;

    d'autre part avec $Ei(x)$ la fonction exponentielle intégrale il vient :

    $Ci(iax) = \frac{Ei(ax) + Ei(-ax)}{2} + i\frac{\pi}{2}$ et $Si(iax) = \frac{\pi}{2} + i\frac{Ei(ax) - Ei(-ax)}{2}$

    et en séparant partie réelle et partie imaginaire il vient :

    $\int_0^{+\infty}\frac{cos(tx)}{a² + t²}dt = \frac{\pi}{2a}e^{-ax}$ et aussi

    $\int_0^{+\infty}\frac{sin(tx)}{a² + t²}dt = \frac{1}{2a}[e^{-ax}Ei(ax) - e^{ax}Ei(-ax)]$

    et pour $a = \sqrt{2}$ il vient les deux transformées de Fourier :

    $$\int_0^{+\infty}\frac{cos(tx)}{2 + t²}dt = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}e^{-x\sqrt{2}}$$

    $$\int_0^{+\infty}\frac{sin(tx)}{2 + t²}dt = \frac{1}{2\sqrt{2}}[e^{-x\sqrt{2}}Ei(x\sqrt{2}) - e^{x\sqrt{2}}Ei(-x\sqrt{2})]$$

    cordialement
  • bonsoir,
    je vous remercie tous
    Monsieur sadfubi, pouvez vous m'expliquer mieux svp
  • Je voudrais bien savoir calculer la transformée de Fourier de
    1/(c^2+x^2)
    avec c est une constante différente de zéro.
    Svp
    Je vous remercie infiniment de vos réponses :)
  • regarde http://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=fouriertransf
    Si tu appliques le théorème d'inversion de Fourier à ta fonction on trouve $\sqrt { \dfrac {\pi}{2}}\, \dfrac{1}{c} e^{-c\vert - t \vert } = \sqrt { \dfrac {\pi}{2}}\, \dfrac{1}{c} e^{-c\vert t \vert }$
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