Exercice homographie complexe

[Suite à une mauvaise manip, j'ai perdu la discussion initiée par Acide-Hyaluronique, mea culpa.
Je reproduis ici le message original, que j 'ai retrouvé dans le cache. Greg]

Bonjour, je ne sais pas si je poste exactement au bon endroit mais il me semble que la catégorie algèbre correpond à mon exercice, je suis en prépa et j'ai un petit problème avec mon DM de maths, il s'agit d'une question qui me paraissait simple à première vue ( et qui l'est surement ), mais je n'y arrive pas, sûrement un problème de simplification .. (:P)

Alors on a:

∀ z ∈ C \ {1/2}, f(z) = ( z - 2 ) / ( 2z - 1 ).

Question "préalable": déterminer les deux points fixes de f, on les notera α et β avec Im α > 0 et Im β < 0.
J'ai trouvé β = et α son conjugué ( j'ai pas trouvé d'image à copier coller).

Bref je finis par arriver à la question qui me pose problème:

Démontrer que ( f(z) - α ) / ( f(z) - β ) = - ( z-α / z-β ) avec z ∈ C \ {1/2}.

Je suis bloqué à ( f(z) - α ) / ( f(z) - β ) = ( z - 2 - 2zα + α ) / ( z - 2 - 2zβ + β ), et là j'ai du mal à simplifier ...

Merci d'avance !

PS: je suis navré de la pénibilité à lire le message mais je ne comprend pas comment fonctionne LaTex que j'ai pourtant installé, mais je ne sais pas trop comment l'utiliser pour rédiger quelque chose d'agréable à lire ( j'ai essayé de faire le plus aérien possible 8-) )

Réponses

  • Commence par factoriser les termes en z en haut et en bas
  • Soit $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$. Alors : $f(z)-f(z^{\prime })=\frac{...}{(cz+d)(cz^{\prime }+d)}(z-z^{\prime })$.
    Faire là-dedans $z^{\prime }:=\alpha $, puis $z^{\prime }:=\beta $, avec $\alpha $ et $\beta$ quelconques, quotienter, il viendra :
    $\frac{f(z)-f(\alpha )}{f(z)-f(\beta )}=\frac{...}{...}\cdot \frac{z-\alpha }{z-\beta }$.
    Remplacer enfin $\alpha $ et $\beta$ par leurs valeurs respectives, et se souvenir que : $f(\alpha )=\alpha $ et $f(\beta )=\beta $.
    Ceci marche pour toute homographie $f$ avec deux points fixes distincts.
    Bonne nuit.
    RC
    29/10/2013
  • Merci d'avoir pris le temps de répondre, c'est sympa ! Je vais m'y atteler et bonne nuit à toi aussi ;)
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