Aux ENSI, ça devient dur

DAhmedine
DAhmedine
dans Concours et Examens
Bonjour,

Voici un exercice tombé à l'oral d'ENSIMAG
http://ensimag.grenoble-inp.fr/formation/admissions-2013-433704.kjsp?RH=ENSIMAG-02_Formation

Chercher les hyperplans de $M_2(\Bbb R)$ stables par $M\mapsto M^3$.

Amicalement

Réponses

  • ev
    ev
    D'un autre côté, l'ENSIMAG n'a jamais eu la réputation d'être une école de garçons coiffeurs.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Guego
    Guego
    Marrant, comme exercice, ça change un peu.
  • forp
    forp
    Depuis quand les oraux de l'ENSIMAG sont séparés des autres CCP?

    Il me semblait que la plupart des exos de CCP était connu à l'avance pour que les élèves les préparent...

    Cet énoncé est très loin de ceux récupérés dans la RMS (numéro 2 de chaque volume); soit un examinateur atypique (ce qui ne me déplairait pas), soit une source abusivement attribuée à l'ENSIMAG.
  • DAhmedine
    DAhmedine
    C'est quand même curieux que l'on débatte de tout sauf de la solution de l'exo. Que l'exo provienne en effet de l'ENSIMAG, des Mines ou de Centrale, cela m'importe personnellement peu.

    Allez je me jette à l'eau : je vois déjà l'hyperplan des matrices de trace nulle et de nombreux autres...

    Bonne soirée
  • transpose0
    transpose0
    Bonjour,

    Pour ma part je passerai volontiers à la transposée ce qui permet de chercher une droite stable plutôt qu'un hyperplan.
  • Guego
    Guego
    Pour la résolution :
    1) Tout hyperplan de $M_n(\R)$ est de la forme $H_A = \{ M\in M_n(\R),\;Tr(AM)=0\}$ pour une certaine matrice $A$.
    2) D'après Cayley-Hamilton, toute matrice $M$ de $M_2(\R)$ vérifie $M^2-Tr(M)M+det(M)I = 0$. On en déduit une expression de $M^3$ en fonction de $M$ et $I$, ce qui permet de calculer $Tr(AM^3)$ où $A$ est la matrice définissant l'hyperplan (cf point 1).
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonsoir,

    Toute matrice de $\mathcal M(2,\Bbb R)$ vérifie $$M^3= tr(M)det(M) I_2-(tr (M)^2-det(M))M.\quad (*)$$
    Tout hyperplan $H$ de $\mathcal M(2,\Bbb R)$ contenant $I_2$ est donc stable par $M\mapsto M^3$.

    Il s'agit maintenant de démontrer que si $I_2\notin H$, avec $H$ hyperplan de $\mathcal M(2,R)$ stable par $M\mapsto M^3$, alors $H$ coïncide avec l'hyperplan $H_0=\ker(Tr)$. Dans le cas contraire, $P=H\cap H_0$ serait un plan et, d'après (*), toute matrice de $H$ qui n'est pas dans ce plan $P=H\cap H_0$ serait forcément de déterminant nul. Il en serait donc de même par densité de toute matrice du plan $P$. Ce dernier formé donc de matrices dont la trace et le déterminant sont nuls se trouverait donc dans le cône nilpotent : contradiction.
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonjour Yess,

    Pour faire plus concis et peut-être plus élégant, autant dire que l'hypothèse $I_2\notin {\rm H}$ entraîne que la fonction polynôme produit $A\mapsto {\rm tr}(A)\det(A)$ est nulle sur l'hyperplan $H$. Comme tout hyperplan de ${\rm M}(2,\Bbb R)$ contient une matrice inversible, c'est que c'est la fonction polynôme trace qui est nulle sur ${\rm H}$ et donc ${\rm H}={\rm H}_0$. :D
  • bizuth44
    bizuth44
    Il y a une petite faute de signe dans $$M^3= tr(M)det(M) I_2-(tr (M)^2-det(M))M$$ (c'est l'inverse, comme on peut le vérifier en faisant M = I)). Ce qui n'enlève rien au raisonnement celà dit
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonsoir,

    L'hyperplan des matrices de trace nulle de M_3(R) n'est pas stable par passage au cube, comme le montre la matrice de la permutation circulaire.

    Il me semble qu'aucun hyperplan de M_3(R) n'est stable. Est-ce exact ?
  • forp
    forp
    @02 on est dans $\mathcal{M}_2(\R)$
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonsoir

    @bizuth44 : très juste pour l'erreur de signe ! Cependant, au lieu de dire "c'est l'inverse, comme on peut le vérifier en faisant $M = I$", j'aurai dit "c'est l'opposé, comme on peut le vérifier en prenant pour $M$ un projecteur de rang 1" ;)

    @Loxi Gène : je pense qu'il est bon de remarquer que si un hyperplan $ H$ a pour équation $ tr (AX)=0$, alors on peut remplacer la matrice $A$ par une matrice $B$ qui lui est projectivement semblable, c'est-à-dire telle que $A=\lambda PBP^{-1}$, avec $P$ inversible et $\lambda\neq0$. On vérifie alors si ton assertion est juste sur un système de représentants des classes relativement à cette relation d'équivalence. Cela semble fastidieux, même en dimension 3, et il doit y avoir plus élégant.
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonjour Yess,

    Le cas où $A$ est scalaire non nulle a été traité. Je suppose maintenant que $A$ est semblable à
    $A'=\left[\begin{matrix} a&0&0\\
    0&0&-bc\\
    0&1&b+c
    \end{matrix}\right]$.

    La matrice $M'=\left[\begin{matrix}0&0&1\\
    1&1&0\\
    0&0&0
    \end{matrix}\right]$ vérifie ${\rm tr}(A'M')=0$ et ${\rm tr}(A'M'^3)\neq 0$, puisque $M'^3=\left[\begin{matrix}0&0&0\\
    1&1&1\\
    0&0&0
    \end{matrix}\right]$.

    Tout se calcule de tête si on se souvient que ${\rm tr}(XE_{ij})=x_{ji}$.

    Il reste à examiner les autres cas. Mais quels sont les autres cas ? Bonne question, dont je laisse la réponse à d'autres !
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonjour à tous,

    je poursuis dans l'idée de D'Ahmedine

    La matrice $A$ admet une valeur propre réelle. Si elle est simple, on est dans la cas traité par D'Ahmedine et si elle est double, la dernière valeur propre est encore réelle et si elle est distincte de la précédente, on est encore dans le cas sus-traité. Il reste donc le cas où la valeur propre est triple et où la matrice $A$ est semblable à $A'=\left(\begin{matrix} a&1&0\\
    0&a&1\\
    0&0&a
    \end{matrix}\right)$.

    Si $a\neq 0$, la matrice $M'=\left(\begin{matrix} 0&0&1\\
    1&0&0\\
    0&1&0
    \end{matrix}\right)$ convient.

    Si, enfin, $a=0$, on prend pour $M'=\left(\begin{matrix} 0&0&0\\
    0&1&1\\
    1&0&0
    \end{matrix}\right)$.

    It took a lot of work to make it work...
  • DAhmedine
    DAhmedine
    Bonsoir,

    je me permets de poser la question suivante :

    Quels sont les hyperplans de M(2,R) stables par M --> M^5?
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