Démonstration d'une égalité

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer une égalité, mais je buggue un peu là :

$x \, \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 \over x^4}} ~=~ {1 \over x} \, \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 x^4}}$

En gros, cela revient à démontrer que $y(x) = y(1/x)$. Si quelqu'un a une petite idée...?

Merci par avance.

Réponses

  • Tu peux peut-être élever au carré chaque membre de l'égalité après les avoir multiplié par $x$...
  • bonsoir

    ton égalité est fausse : en fait (il suffit de mettre $\frac{1}{x²}$ en facteur) :

    $x\sqrt{1 + \frac{\alpha²}{x^4}} = \frac{1}{x}\sqrt{x^4 + \alpha²}$

    cordialement
  • Bonsoir,
    First of all, sur quel ensemble travaillons nous, réponse présumée sur $\mathbb{R} \setminus {0} $.
    Sur cet ensemble on a~:
    \[x \, \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 \over x^4}} ~=~ {1 \over x} \, \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 x^4}} \iff x^2 \, \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 \over x^4}} ~=~ \sqrt{1 \,+\, {\alpha^2 x^4}} \]
    What else~?
  • Ton égalité du départ n'est pas vraie pour tout x, tout $\alpha$.

    Pour s'en convaincre tu prends, par exemple, $x=2$ et $\alpha=4$ et tu vois que les deux membres de l'égalité ne sont pas égaux.
  • Fin de partie a écrit:
    tu vois que les deux membres de l'égalité ne sont pas égaux
    Alles klar!
  • Bonsoir à tous,

    En effet on travailles sur $\mathbb{R}^{+} \setminus {0}$.
    Mais même sur cet intervalle, je suppose que toutes les solutions ne sont pas possibles. Serait-il possible d'extraire l'ensemble des solutions pour lesquelles cet égalité est vérifiée...?
  • En suivant les indications de Braun et Chris93, il n'est pas difficile de voir que la seule solution réelle positive est $1$ si $\alpha \notin \{-1, 1\}$ et, qu'en revanche, tout réel $x>0$ est solution si $\alpha=\pm 1$.

    LP

  • Cela s'appelle résoudre une équation.

    Je pense que cette équation n'est pas très compliquée à résoudre.
  • Merci pour vos contributions !
  • On signe un contrat d'exclusivité quand on laisse un message ici?

    Je ne dirais pas hypocrite mais plutôt têtu et borné.
  • Il faudrait effectivement revoir la définition de l'hypocrisie albanv, mais on ne peut exceller en tout point...;)

    Cette question me taraudait, et je me devais d'y apporter une réponse sous peu, d'où la multiplication des 'posts'...Evitez de vous lancer dans des interprétations sans fondement aucun, la réflexion ne prête que rarement au déni.

    Ceci étant, cette équation qui semble en première apparence assez simple à résoudre, fait en fait partie d'un ensemble beaucoup moins intuitif à interpréter. Ne pouvant mettre le développement dans sa totalité ici, je me suis contenté de proposer un cas particulier pour entrevoir quelques approches diverses.

    Merci encore, SINCEREMENT, aux têtes bien-pensantes et aux esprits bienfaisants !
  • On ne peut qu'être d'accord avec "Médiat" :
    Le genre d'attitude qui ne donne envie de ne plus lui répondre dans le futur !

    Ce n'est pas la même chose que de demander dans un deuxième forum lorsqu'on n'a pas eu la réponse sur le premier, et poster en même (temps) sur deux forums, qui donne l'impression d'être pris pour un imbécile, et clairement de perdre son temps.

    Je ferme.

    Bruno
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