signification d'une expression

Bonsoir
je souhaite connaitre la signification exacte de ceci $f(x)$ tends to $+\infty$ monotonically when $x$ tend to $+\infty$.

Réponses

  • les amis, qu'est ce que signifie le terme $f(x)$ tends to $+\infty$ monotonically when $x$ tend to $+\infty$?
    Merci pour l'aide.
  • Je reformule ma question.

    Merci pour l'aide.
  • Bonjour,
    quelqu'un pour éclairer mon avant dernier poste s'il vous plait
    Merci par avance.
  • Bonjour.

    "monotonement" voulant dire "de façon monotone", c'est sans doute que la fonction f est monotone sur un domaine pas bien précisé. Comme elle ne peut pas être décroissante (évidence, non ?), elle est croissante, pas obligatoirement positive, mais comme sa limite est $+\infty$, elle dépasse définitivement tout nombre à partir d'un certain moment, donc elle devient définitivement positive à partir d'un certain nombre.

    Pour le reste, je laisse de plus calés répondre, tout en étant très surpris qu'on fasse du Gronwal en ne comprenant pas vraiment ce que signifie tendre vers l'infini. Monotonement ou pas.
    On dirait Doc !

    Cordialement.
  • Ce n'est pas une incompréhension gerard0, comme le livre est en anglais et que je ne vois vois pas l'utilité de cette hypothèse dans le passage entre les deux inégalité décrites plus haut, je me demandais si c'étais une erreur de traducyion de ma part... Ceci dis, merci pour votre réponse.
  • les amis j'ai vraiment besoin de quelqu'un pour m'éclairer sur mon poste d'il y'a huit heures, à savoir le passahe entre les deux inégalités. Merci beaucoup
  • Pour appliquer Gronwall, on doit avoir a'/a positive, ce qui est en particulier vrai pour a croissante et strictement positive (et ça ne va pas marcher si a n'est pas monotone). En revanche je ne vois pas de raison particulière pour laquelle la limite à l'infini jouerait un rôle.
  • Et est-ce qu'on peut se passer du fait que cette convergence soit monotone ?
  • La fonction $u$ dans ce cas est $au^2/2$, et la fonction $v$ est $a'/a$. Pour appliquer Gronwall, on doit donc avoir en particulier $au^2/2$ positive donc $a$ aussi, et $a'/a$ positive donc $a$ croissante. D'accord?
  • Si $\forall x, a(x) > 0$ alors la première inégalité s'écrit $a(0)\frac{u^2}{2} \leq |c_1|$ et l'encadrement voulu s'écrit
    $$
    a(x) \frac{u^2}{2} \leq |c_1| \frac{a(x)}{a(0)} \leq |c_1| a(x).
    $$
    ce qui sera vrai si $a(0) \geq 1$. Je ne vois pas bien le rapport avec la monotonie ou même l'intérêt de Gronwal.

    Edit : ah, peut-être que $u$ est une fonction de $x$ ?
  • Bon, je ne m'y suis pas trop intéressé, mais en lisant le message de mt-i (et le tien), cela me semble clair, en posant $v=a'/a$, la monotonie de $a$ plus le fait que $a$ tende vers $+\infty$ nous permet de dire que $a$ est croissante et que $a(s)>0$ pour $s$ assez grand et que $a'\geqslant 0$ (j'ai repris ce que gerard0 a déjà dit plus haut). Par conséquent $v\geq 0$, condition requise pour utiliser le lemme de Grönwall.

    EDIT : Arg, trop lent :D
  • @simeon: oui, $u$ est une fonction de $x$.
    Maintenant je pense qu'on a compris l'utilité de la monotonie et de la convergence vers l'infini.
    et pour mon autre question, à savoir est-ce qu'on peut passer de la première inégalité à la seconde inégalité sans utiliser la monotonie de $a$ (seulement le fait qu'elle soit convergente vers 0) . Dans ce cas, on ne peut plus utiliser Gronwall, mais y-a--il un moyen? Est-ce qu'il est possible de garder $a$ en valeur absolue pour appliquer Gonwall?
  • Bon, je vais etre plus précis:
    on a seulement l'hypothèse que $a(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, et $u$ est une fonction de $x$
    [ Edit : pour un dollar de plus. j ]
  • D'où viendrait que $\displaystyle |c_1| \exp\left(\int_0^x \frac{|a'(s)|}{|a(s)|} \,ds\right) \leq |c_1||a(x)|$ ?

    En général (toujours en supposant $a > 0$) :
    $$
    \exp\left(\int_0^x \dfrac{|a'(s)|}{|a(s)|} \,ds\right) = \frac{a(x)}{a(0)} e^{J(x)}
    $$
    où $\displaystyle J(x) = \int_0^x \frac{|a'(s)| - a'(s)}{a(s)}\ds$ peut être très grand.

    Par exemple, si $a$ ressemble a quelque chose comme ça :
    30169
  • Ok, vers l'infini sans rien d'autre?
  • Bonjour,
    gerard0 a écrit:
    On dirait Doc !

    Cela lui ferai alors au moins deux comptes ici...

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/profile.php?4,9348
  • Tu as mal compris. Même sous l'hypothèse de positivité (a priori favorable) ton truc est faux. Pas d'espoir en général donc. Ton erreur étant que $\dfrac{|a'(s)|}{|a(s)|}$ n'est absolument pas la dériviée de $\ln |a(s)|$...
  • D'accord siméon, j'ai compris ce que tu voulais me dire! donc il est impossible de travailler avec les valeurs absoues.
    Vois-tu une autre issue sans utiliser l'hypothèse que $a(x)$ tend vers l'infini de manière monotone, en ayant juste l'hypothèse $a$ tend vers l'infini?
  • Dérnière chose,
  • Il n'y a pas de raison pour que $a(x) > 0$ sur $[0,\infty)$ et encore moins $a(0) \geq 1$.
    Il faut que tu appliques le lemme de Gronwall sur $[x_0,\infty)$ où $x_0$ est pris tel que $a(x_0) \geq 1$. Si ton but est de montrer que $u$ est bornée, ça ne pose pas de problème.
  • $x$ tend vers $+\infty$.
  • pas sur tout $[0,+\infty[$. Non?
  • Pour la énième fois, il me semble qu'il est évident que ta méthode ne marche pas si tu ne sais pas que $a'/a$ est positive. Si $a(s)$ est positif pour $s$ assez grand, il faut nécessairement que $a'(s)$ le soit aussi, ce qui implique que $a$ est nécessairement croissante sur un intervalle du type $[x_0,+\infty[$. Si c'est le cas, alors ce que tu as écrit fonctionne, modulo quelques petits changements préconisés par Siméon.
  • Mais Philippe Mallot, Simeon vient de me dire qu'on n'a pas besoin que $a(x) \geq 0$ . Je suis perdue.
  • C'est enfin bon
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