Majoration d'une somme

Fabien5660
Fabien5660
dans Analyse
Bonjour,

On me demande de montrer la majoration dans l'exercice suivant :

En vous remerciant par avance,
Bien Cordialement,

PS : je n'en suis pas à mon premier post, désolé si je "monopolise" le forum, les partiels etant la semaine prochaine, j'essaie de m'entrainer au maximum....30086
30084
30085

Réponses

  • discret
    discret
    Je ne vois que la fin de ce papier...

    Sous condition expresse que les deux séries soient absolument convergentes, l'inégalité proposée est juste, mais ce n'est pas la meilleure, puisqu'elle découle aisément de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
  • Fabien566
    Fabien566
    Bonjour,

    Merci pour vos réponses.

    Qu'est-ce que ça aurait donné avec l'inégalité de Cauchy Schwartz ? Meilleur dans le sens plus précise ?

    Oui je n'ai mis que la seconde partie, voici la première :
    [Évite les fichiers de plus d'1MO.
    Rétrécis les dans un logiciel graphique (paint, Gimp, ...) avant de poster.
    Cela m'évitera de devoir le faire. Merci. AD]    30102
    30101
    r31.PNG 564.5K
    r41.PNG 269.5K
  • discret
    discret
    On connaît tous cette inégalité on ne peut plus utile : sous les conditions d'absolue convergence
    $$\sum_{n} |a_n| |b_n| \leqslant \left( \sum_n |a_n|^2 \right)^{1/2} \left( \sum_n |b_n|^2 \right)^{1/2}$$
    et les deux sommes du terme de droite sont plus petites que tes deux sommes de ton terme de droite. On a donc une majoration plus proche du terme de gauche à l'aide de Cauchy-Schwarz que dans ta majoration.

    En clair, Cauchy-Schwarz est meilleur que ta majoration.
  • Fabien5660
    Fabien5660
    Et est ce que $\left( \sum_n |b_n|^2 \right)^{1/2}$ < somme de |bn| ?

    Mais au final ca revient au même..., non ?

    [D'accord AD j'en prends note!! mercii!]
  • discret
    discret
    Oui bien sûr : si $a,b >0$, alors $\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt a + \sqrt b$.

    Au final, on arrive à ta majoration, mais l'inégalité de Cauchy-Schwarz est plus fine, puisqu'encore une fois, elle vient s'intercaler entre ta somme de gauche et tes sommes de droites.

    Dis encore autrement, Cauchy-Schwarz {\bf implique} ton résultat.

    C'est OK ?
  • Fabien5660
    Fabien5660
    Donc si je comprends bien, je gagne seulement "une precision" sur M(O) car M(O) = (somme |Mn(O)|²)^(1/2) < mon M(O) = somme Mn(O)

    Et en revanche je ne gagne rien la serie exponentielle : (somme |exp(K)|²)^(1/2) < somme exp(K) donc je retombe sur ma série exponentielle car j'utilise somme exp(K) et non (somme |exp(K)|²)^(1/2)

    C'est ca ?
  • Fabien5660
    Fabien5660
    Et une autre question s'il vous plait qui n'a rien a voir, c'est seulement pour êttre sûr, vous êtes d'accord qu'une application u appartenant à L(E) (E etant un espace euclidien de dimension fini) est une application linéaire donc
    - continue
    - et de classe Cinfini
    ?

    Encore plus triviale, vous etes d'accord que pour demontrer que u est un diffeomorphisme, je dois montrer que
    - u est une fonction d'un ouvert dans un ouvert
    - u est bijective
    - u et u^(-1) sont de classe C1 (ou de classe Cinfini donc de classe C1)
    ?

    Et dernière question, soit u --> u o u, pour prouver que u est Cinfini, une telle phrase suffit-elle ? :
    "Soit A associé à l'application u. En terme de matrice, u, qui est le passage au carré de la matrice A, est Cinfini puisque ses fonctions coordonnées sont polynomiales donc Cinfini."

    En vous reremerciant par avance,
    Bien Cordialement
  • zorg690
    zorg690
    La composée de deux applications linéaires est linéaires...Or on est en dimension finie donc uou est continue,et différentiable au sens de Frechet. Par induction, uou est de classe Cinf.
  • Fabien5660
    Fabien5660
    D'accord, c'est compris, merci. et en ce qui concerne mes autres questions svp ?

    Bien Cordialement,
    Fabien
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