K-algèbre de type fini

sebsheep
sebsheep
dans Algèbre
Bonjour,

Dans un cours, j'ai eu la définition suivante de "k-algèbre de type fini" où k est un corps (def 1): On dit que A est une k-algèbre de type fini si il existe $n\ge0$, $I\subset k[X_1,..., X_n]$ un idéal et un isomorphisme $A\simeq k[X_1, ... , X_n] / I$.

Mon problème est que j'avais une autre définition (def 2) : A est de type fini s'il est engendré par un nombre fini d'éléments $x_1, ... , x_n$.

J'arrive à montrer que def 1 => def 2 : on prend les classes $X_1, ..., X_n$ comme générateurs, par contre pour la réciproque j'ai plus de mal à formaliser.

Wiki donne l'équivalence, mais pas de trace de justification...

Réponses

  • Bu
    Bu
    Si $x_1,\ldots,x_n$ sont des éléments de la $k$-algèbre $A$, il existe un unique morphisme de $k$-algèbres $f:k[X_1,\ldots,X_n]\to A$ qui envoie $X_i$ sur $x_i$ pour $i=1,\ldots,n$. Ce morphisme est surjectif si et seulement si $(x_1,\ldots,x_n)$ engendre $A$ comme $k$-algèbre, et alors $f$ induit un isomorphisme du quotient $k[X_1,\ldots,X_n]/\ker(f)$ sur $A$.
  • sebsheep
    sebsheep
    Ah oui ! Merci !
  • Bu
    Bu
    Avec plaisir.
  • dSPautaf
    dSPautaf
    Attention, l'équivalence n'est vraie que pour des algèbres commutatives !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français